Для вывода формулы примем Землю за шар и сравним длины дуг АС=S' с длиной касательной, — радиус земного шара, — разность широт точек, А и С на земной поверхности из треугольника ОАВ.
Рис. 2.3 Влияние кривизны Земли на горизонтальные и вертикальные расстояния
Отличие отрезка касательной АВ от дуги АС:
Так как рассматриваем небольшие участки земной поверхности, дуга S' сравнительно небольшая, нежели радиус шара R = 6371 км. В этом случаи центральный угол? ц — разность широт двух точек, А и С небольшая, в пределах до 1є. Поэтому, учитывая его небольшую величину, воспользуемся формулой разложения tg? ц в ряд, ограничившись первыми членами:
Получим:
Но так как, то:
При .
Относительная погрешность .
Наивысшая точность геодезических измерений в настоящее время не превышает относительной погрешности .
Следовательно, погрешность за кривизну Земли не превышает погрешности при измерении расстояний длиной в пределах до 10 км. Поскольку точка, А — является точкой касания, то в целом участки Земной поверхности протяженностью до 20 км (площадью 300−320 км2) можно принять за плоские с практически неощутимой погрешностью. В пределах этих участков земную поверхность можно представлять в ортогональной проекции в виде топографических планов (при S = 10 км? ц? 5', что подтверждает правильность применения формулы разложения tg? ц в ряд).
