Некоторые проблемные вопросы применения обобщающих статистических показателей и способы их решения

Обобщающие статистические показатели весьма эффективны для целей анализа, вместе с тем применение некоторых из них сопряжено с необходимостью решения ряда проблемных вопросов. Так, абсолютными показателями целесообразно определять лишь показатели первичных статистических признаков, которые могут быть получены путем измерения, подсчета или расчета двух или большего числа абсолютных показателей, а не любые результаты производства или затраты трудовых, материальных, денежных ресурсов, поскольку они зависят от длительности интервала времени, за который измеряются (подробнее см. [27, с. 163]). Абсолютные статистические величины не позволяют охарактеризовать качественные особенности и изменения в динамике изучаемых социально-экономических явлений и процессов, не позволяют выявить структуру исследуемой статистической совокупности, соотношение между ее частями, интенсивность развития изучаемых социально-экономических явлений и процессов и т. д. Для этих целей служат рассчитываемые на основе абсолютных относительные величины, которые в случае их оторванного применения от других показателей также теряют свою аналитическую ценность. Что касается, например, относительных показателей интенсивности, то их расчет в ряде случаев связан с проблемой выбора наиболее обоснованной, соответствующей исследуемому социально-экономическому явлению или процессу базы сравнения.

Таким образом, применение по отдельности абсолютных, относительных и средних величин не дает полного представления об исследуемой статистической совокупности; иными словами, на основе отдельных статистических показателей не имеется возможности провести исчерпывающее и всестороннее исследование, поскольку каждый из рассмотренных в этой главе показателей в отдельности решает конкретную узконаправленную задачу. В этой связи исследования различных статистических совокупностей представляется целесообразным и необходимым осуществлять в рамках системного подхода. Учитывая принципы системного подхода, его требования могут быть предельно полно реализованы только с использованием системы статистических показателей (см. гл. 1).

Следует учитывать, что статистическая совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна представлять достаточно большое количество единиц. Иначе случайные отклонения значений вариант единиц статистической совокупности не будут погашаться и в средней не проявится закономерность, свойственная изучаемому социально-экономическому явлению или процессу. Целесообразно также рассчитанную среднюю величину по всей статистической совокупности дополнять групповыми средними, рассчитанными по выделенным группам исследуемой статистической совокупности. Статистическая совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна быть качественно однородной. В противном случае эта средняя не только не будет иметь практической или научной ценности, но и может принести значительный вред, искажая истинный характер исследуемого социально-экономического явления или процесса. Если исследуемая статистическая совокупность не является однородной, то ее необходимо разбить на группы, содержащие только однородные единицы совокупности, и рассчитать средние величины в установленных группах.

При расчете средних величин из изучаемой статистической совокупности необходимо также исключать нетипичные значения (слишком малые или слишком большие), иначе средняя может давать также некорректные оценки исследуемых социально-экономических явлений и процессов и представлять собой нетипичную характеристику изучаемой статистической совокупности. Слишком малые значения единиц статистической совокупности уменьшат среднюю величину, а слишком большие — увеличат ее.

При достаточно большом количестве единиц исследуемой статистической совокупности возможно для элиминирования влияния экстремальных значений рассчитать так называемую усеценную среднюю. С этой целью исключают из расчета по пять процентов наименьших и наибольших значений единиц статистической совокупности.

Как правило, в учебной литературе в теории средних величин вопросам средних (квадратической и кубической) либо уделяется крайне мало внимания, либо вообще данные вопросы не рассматриваются. Авторы практически всех учебников и учебных пособий, в которых излагаются расчет и применение средних величин (квадратической и кубической), за исключением немногих, полагают, что данные средние возможно использовать лишь для расчета показателей вариации. Однако в литературе описаны и другие варианты, например использование средней квадратической величины для расчета средней стороны квадратного участка, а средней кубической в случаях, если «по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину» [12, с. 134]. Формула, применяемая для расчета средней квадратической величины, проиллюстрирована только для квадратных площадей, но вполне очевидно, что на практике приходится иметь дело наиболее часто с прямоугольными площадями. Возникает проблема: как рассчитать средние длины сторон фигур прямоугольной формы? Однако иллюстрация применения формулы средней квадратической величины для определения средних длин сторон фигур прямоугольной формы на плоскости (прямоугольника) в статистической литературе отсутствует.

Аналогичная проблема возникает не только с применением средней квадратической величины для расчета длин сторон средней фигуры прямоугольной формы на плоскости (прямоугольника), но и с использованием средней кубической величины для расчета длин сторон средней фигуры прямоугольной формы в пространстве (параллелепипеда). При этом практически все осредняемые длины сторон фигуры прямоугольной формы в пространстве являются, как правило, не кубами, а параллелепипедами. Действительно, в случае необходимости определения средних длин сторон фигуры прямоугольной формы на плоскости (прямоугольника) возможно использование формулы квадратической средней величины.

Проиллюстрируем использование формулы квадратической средней величины для определения средних длин сторон фигуры прямоугольной формы на плоскости (прямоугольника) на примере. Допустим, имеются три прямоугольника со сторонами: 2×3 м, 3×4 м, 4×5 м. Необходимо рассчитать длины сторон «среднего прямоугольника».

Рассчитаем площадь «среднего прямоугольника».

В силу необходимости сохранения общей площади всех прямоугольников, допустим, что исходные прямоугольники — это фигуры со сторонами V5,-, где Sj — площадь одного из данных прямоугольников. Исходя из этого рассчитываем среднюю квадратическую по формуле

гдех — длина стороны фигуры с искомой площадью; в данном случае она будет равна

Отсюда площадь «среднего прямоугольника» будет равна 38,3 м². Далее находим соотношение сторон искомого «среднего прямоугольника». Рассмотрим данные прямоугольники и определим соотношение длин их сторон, затем рассчитаем среднее соотношение, которое будем использовать для определения длин сторон «среднего прямоугольника».

Итак, длины сторон прямоугольника 2×3 м будут относиться как 2 к 3, 3×4 м — 3 к 4, 4×5 м — 4 к 5. Используя формулу средней арифметической величины, получим отношение 133:180. Это и есть искомый коэффициент соотношения длин сторон «среднего прямоугольника» в нашем случае. С помощью данного коэффициента определим длины сторон «среднего прямоугольника».

Итак, сторона.

Следовательно,

Отсюда а = 3,06 м; b = 4,14 м. Следовательно, длины сторон «среднего прямоугольника» составят 3,06 и 4,14 м соответственно.

Аналогично используется формула средней кубической величины, если по условиям задачи необходимо определение средних длин сторон параллелепипеда. В случае необходимости определения средних длин сторон фигуры прямоугольной формы в пространстве (параллелепипеда) возможно использование формулы кубической простой средней:

где Vj — объем одной из данных величин, с ребром tfvi.

Допустим, имеются три параллелепипеда А, В, С с ребрами 2x3x4 м, 3x4x5 м, 4x5x6 м соответственно. Необходимо рассчитать длины сторон «среднего параллелепипеда».

Находим объем «среднего параллелепипеда»:

Определяем коэффициенты соотношения длин сторон и составляем соответствующие уравнения. Пусть а — наименьшая длина стороны каждого параллелепипеда, с — наибольшая длина стороны каждого параллелепипеда. Выразим соотношение длин сторон в каждом параллелепипеде через а для каждого параллелепипеда соответственно:

Найдем средние коэффициенты соотношения длин сторон для уравнения «среднего параллелепипеда»:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение и находим длины сторон «среднего параллелепипеда»:

Отсюда имеем.

которые при подстановке в уравнение «среднего параллелепипеда» дадут в произведении 68. Следовательно, длины сторон «среднего параллелепипеда» составят 3,72 619, 4,182 176 и 5,291 733 м соответственно. Таким образом, формулы средней квадратической и средней кубической величин допустимо применять для определения средних длин сторон прямоугольника и параллелепипеда соответственно.

В принципе, можно ставить вопрос и о применении формул средних четвертой и пятой степеней для определения средних длин сторон тессеракта и пенгеракта (гиперкубов в четырехмерном и пятимерном пространствах соответственно), а при необходимости и других фигур многомерного пространства и т. п.