Метод неопределенных множителей Лагранжа

Теорема 1. Пусть точка является точкой условного экстремума функции при выполнении уравнений связи (3). Тогда существуют такие числа, что в точке выполняются условия.

(7).

Следствие. Положим.

(8).

где — числа, указанные в теореме. Функция (8) называется функцией Лагранжа. Если точка является точкой условного экстремума для функции, то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. в этой точке.

(9).

Доказательство теоремы. Пусть — точка условного экстремума для функции и пусть в этой точке для определенности выполняется условие (4). Тогда точка является точкой обычного экстремума для функции, поэтому в точке.

Или.

.

откуда, пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, для точки имеем.

(10).

Подставляя (5) в (3) и дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки, а значит, и в самой точке, получим.

(11).

В формуле (11), также как и в формуле (10), дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы есть дифференциалы функций .

Каковы бы не были числа, умножая равенство (11) в точке для функции на, и складывая их между собой и с равенством (10), получим.

(12).

Выбрав так, чтобы в точке выполнялись равенства.

(13).

Это всегда возможно, так как (13) является системой линейных относительно уравнений с определителем.

не равным нулю.

При таком выборе имеем.

(14).

Здесь уже все дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных и, значит, сами являются независимыми переменными, которые могут принимать любые значения. Беря, а все остальные дифференциалы, входящие в формулу (14), равными нулю, получим.

(15).

Тем самым мы доказали существование таких, что выполняются условия (13) и (15), т. е. условия (7).

Теорема доказана.

Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа Пусть требуется найти экстремум функции n переменных f (x₁, x₂,…, x_n) при условии, что переменные x₁, x₂,…, x_n связаны соотношениями (ограничениями).

среди которых количество m ограничений-равенств меньше числа n переменных, а количество и r ограничений-неравенств может быть произвольным.

Для нахождения значений {x₁, x₂,…, x_n}=Х, необходимо доставляющих экстремумы функции f (X), можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа:

• 1. Ограничения-неравенства g (X)0 приводятся к виду (Х)0, где (Х) = - g (X).
• 2. Полученные ограничения-неравенства

в свою очередь приводятся к ограничениям-равенствам путем введения +r дополнительных переменных.

В результате задача поиска условного экстремума примет канонический вид:

в котором соотношение m++r < n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f (X).

3. Составляется функция Лагранжа:

Ф (x₁,…, x_n,₁,…,_m++r) = f (x₁, x₂,…, x_n)+₁q₁+₂q₂+…+_m++rq_m++r,

в которой дополнительные переменные {₁,…,_m++r}= называются неопределенными множителями Лагранжа.

Для составленной функции Лагранжа можно ставить задачу нахождения безусловного экстремума Ф (Х,) extr,.

результат решения которой будет совпадать с искомым решением исходной задачи нахождения условного экстремума.

4. Для функции Ф (Х,) составляются необходимые условия существования экстремума:

Ф (Х,)=0.

Или.

5. Полученную систему уравнений Ф (Х,)=0 решают, и в результате решения находят значения.

.

удовлетворяющие необходимым условиям существования экстремума.

6. Для решения вопроса о том, существует ли в найденных точках максимумы или минимумы следует воспользоваться достаточными условиями существования экстремумов, которые для гладких функций Ф () формулируются следующим образом:

если в некоторой точке матрица вторых производных положительно определена, то в анализируемой точке лежит минимум функции f (Х);

если отрицательно определена максимум.

Если Ф (Х,) негладкая, то можно использовать достаточные условия вида, например, для максимума:

Ф (Х,*) Ф (Х*,*) = Ф (Х*,),.

однако проверка этих условий при большом числе переменных трудоемко, и при решении практических задач вопрос о наличии минимума или максимума решается на основании дополнительных соображений, вытекающих из содержания задачи.

Пример № 1. Найти экстремумы функции.

z = 6 — 4x — 3y.

при условии, что переменные x, y удовлетворяют уравнению.

x² + y² = 1.

Решение.

Составляем функцию Лагранжа:

F (x, y) = 6 — 4x -3 y + л (x² + y² — 1).

Необходимые условия дают систему,.

решив которую, найдем:

Находим.

и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа.

в этой точке условный минимум, z_min = 1.

в этой точке условный максимум, z_max =11.