Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией

На рис. 7.1 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая на рис. 7.1, а удовлетворяет условию: -Дх + л) =Дх).

Рис. 7.1.

Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симметричными относительно оси абсцисс. Если кривую на рис. 7.1, а сместить по оси х на полпериода и зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадет с кривой Дх).

При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффициенты Aq = А' = А" = А' = А" =… = 0. Поэтому кривые типа кривой на рис. 7.1, а раскладывают в ряд так:

Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условиюДх + я) = Дх), напримерsin (х + п) = sin (х).

Кривая, подобная кривой на рис. 7.1, б, обладает симметрией относительно оси ординат и удовлетворяет условию: Д-х) =Дх).

Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить относительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кривой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные (Л{ = А₂ — А₂ = … = 0) составляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная составляющие.

Таким образом, кривые типа кривой на рис. 7.1, б можно разложить в ряд.

Кривые типа кривой на рис. 7.1, в удовлетворяют условию: -Д-х) = = Дх), их называют кривыми, симметричными относительно начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:

О разложении в ряд Фурье кривых геометрически правильной и неправильной форм

Встречающиеся в электротехнике периодические кривые можно подразделить на две группы:

• 1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано в табл. 7.1, где вместо х записано wt;
• 2) кривые произвольной (геометрически неправильной) формы; чаще всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графически (графоаналитически).

Таблица 7.1

Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда Фурье

Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции/(х), равный 2п, разбивают на п равных ". 2тс частей Дх = — и интегралы заменяют суммами. п

По определению, постоянная составляющая или.

где р — текущий индекс, принимающий значения от 1 до п;/_р(х) — значение функции Дх) при х = (р — 0,5)Ах, т. е. в середине р-го интервала. Амплитуда синусной составляющей fc-гармоники ряда.

или.

амплитуда косинусной составляющей /с-гармоники.

где sin_pkx и cos_pkx — соответственно значения функций sin/сх и cos кх при х = (р — 0,5) Дх, т. е. в середине р-го интервала.

При расчетах по формулам (7.5)—(7.7) обычно достаточно разделить период на п = 24 или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число.

Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. параграф 7.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая/(х) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая А₀ и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя А_к и А_к при нечетных к, следует учесть, что ?/_p(x)sin_pkx за первый полупериод равна сумме ?/_p(x)sin_pkx за второй полупериод.

Знак углов i_k в формуле (7.4) зависит от знаков А'_к и А_к. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для к-й гармоники должен быть взят в к раз большим, чем для первой гармоники.

Так, если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол тг/З, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. Зп/З = л.

Пример 64.

Найти первую и третью гармоники функции fix), изображенной на рис. 7.2, а. Значения ординат функции fix) за первый полупериод при разбивке периода на п = 24 части следующие:

Рис. 7.2

Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А₀ = 0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.

Амплитуда синусной составляющей первой гармоники.

А{=— 7sin72^o30^, + llsin22^o30' + 13,5sin37^o30^/ + 15,4sin52°30^,+.

+17,4sin67°30' + 20,5sin82^o30^/ + 25,4sin97^o30^/ + 32,5sinll2^o30^/ + +27,7sinl27°30' + 19,2sin42°30' + 10sinl57°30^/ + 5sinl72°30') * 25,3.

Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники.

Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники.

Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники.

Амплитуда первой гармоники А₁ = yl (A[)² +(А[^Г)² =25,9. Тангенс угла |/_l5 на который начало первой гармоники смещено относительно начала кривой Дх),.

Амплитуда третьей гармоники.

Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то.

На рис. 7.2, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.2, а.