Решение упругопластической задачи МКЭ

Для решения упругопластической задачи без использования МКЭ надо составить систему дифференциальных уравнений: геометрических, равновесия, физических и решить ее с использованием граничных условий, условия пластичности и уравнения диаграммы деформирования. Это чрезвычайно сложная задача. При использовании МКЭ задача существенно упрощается.

Главное упрощение состоит в том, что вместо упругопластической задачи в МКЭ решается упругая задача. Плата за такое упрощение заключается в многократном решении упругой задачи итерационным методом и соответственно увеличении времени расчета.

При упругопластической деформации результат нагружения тела системой сил зависит от порядка приложения нагрузок (сложное нагружение). Приходится производить ступенчатое нагружение, разбивая траекторию нагружения на ряд ступеней (шагов нагружения). Для получения правдоподобного результата на каждом шаге нагружения выполняется итерационный процесс последовательных приближений, поэтому для решения упругопластической задачи необходимо несколько десятков раз решить упругую задачу.

При действии на конструкцию одной единственной внешней нагрузки (простое нагружение) ступенчатое нагружение необязательно (расчет выполняется за один шаг нагружения), но итерационный процесс сохраняется. Основное уравнение МКЭ [А']{А} = {Г}.

На каждом шаге нагружения приходится перестраивать вектор сил {/). Существует два варианта решения упругопластических задач МКЭ итерационным методом: на каждом шаге итерации перестраивать матрицу жесткости — метод переменных параметров упругости; на каждом шаге итерации перестраивать вектор сил — методы дополнительных напряжений и дополнительных деформаций.

Чаще всего применяют метод переменных параметров упругости, обладающий лучшей сходимостью по сравнению с другими методами. Рассмотрим алгоритм этого метода.

Вернемся к рассмотрению диаграммы деформирования (см. рис. 25.2). В точке В при упругопластическом деформировании о_и«тв ⁼ Ф (€_и«тв)> где Ф (^еинтв)' ^— уравнение диаграммы деформирования, записанное для точки В диаграммы деформирования.

Ту же величину напряжения можно получить, предположив упругое нагружение, но с меньшим модулем упругости Е_с: о_интВ = ?_се_интВ. Коэффициент пропорциональности в этом выражении Е_с — секущий модуль. Секущий модуль — величина переменная, зависящая от деформации в каждой точке тела.

В методе переменных параметров упругости реализуется идея замены физических уравнений теории пластичности уравнениями теории упругости (законом Гука). При сложном напряженном состоянии связь напряжений с упругими деформациями записывается в соответствии с законом Гука по формуле (9.5). При упругопластической деформации форму закона Гука можно сохранить, если использовать другие упругие постоянные.

Величины E_t, р*, G+ называются переменными параметрами упругости и определяются путем сравнения физических уравнений теории пластичности с уравнениями теории упругости [см. (20.29)]: Е, = Е_с/(+ а), где Е_с = Ф (?_и«_т)/е_инт; Ф (е_инт) — уравнение диаграм;

. 2 е мы деформирования; а = ——; 0 < а < 0,1; р* = (1−2яУ (2 + 2д);

Е ^{3 Е} .

G* ⁼ 2 (^С у ^ Р°^сгом Деформаций ?" -> ?_с, р* -> 0,5, (?" -> ?_с/3.

При использовании выражений (25.5) решение упругопластической задачи сводится к решению упругой задачи с переменными параметрами упругости.

Сущность метода переменных параметров упругости заключается в том, что при заданной нагрузке в каждом конечном элементе надо: решить основное уравнение МКЭ и определить упругие величины узловых перемещений Л, все компоненты векторов напряжений {о} и деформаций {е}, интенсивности напряжений о_инт и деформаций ?_инт для всех элементов;

для элементов, перешедших в пластическое состояние, в которых ^?инт ^{> ?}т' найти переменные параметры упругости Е_м, р*, С*; пересчитать с учетом этих параметров матрицу внутренней жесткости |С|; пересчитать матрицу жесткости элемента [К^е]]_ пересчитать матрицу жесткости системы [к ]; вновь решить основное уравнение МКЭ и найти А, {о}, {е}, о_инт,.

г.

°инт>

Рис. 25.3. Последовательные приближения в методе переменных параметров упругости.

сопоставить результаты начала и конца расчета. При существенных расхождениях перейти ко второму приближению.

Процесс повторяют до выполнения критерия сходимости. Результаты расчета первых трех итераций в одном из конечных элементов приведены на рис. 25.3.

На рис. 25.4 показана блок-схема решения упругопластической задачи МКЭ методом переменных параметров упругости. Сначала решается упругая задача при любой (можно единичной) нагрузке и определяется нагрузка F_T, при которой maxa,_1HT = a_T. Затем надо задаться нагрузкой F= F_Tа, где a > 1. При такой нагрузке в конструкции появляются пластические деформации.

Рис. 25.4. Блок-схема метола переменных параметров упругости.

Далее производится упругий расчет при заданной нагрузке F. Из условия о_И1|т> Ф (с_инт) определяются элементы, в которых появились пластические деформации. Для этих элементов рассчитывают новые параметры упругости, пересчитывают матрицу жесткости элемента. Для элементов, оставшихся упругими, матрица жесткости элемента сохраняется прежней. Затем формируют матрицу жесткости системы, решают основное уравнение МКЭ и определяют узловые перемещения А.

По результатам расчета определяют какой-либо критерий окончания расчета Eps. Если Eps < г), расчет заканчивают, если — нет, переходят к следующей итерации.