Оценка точности геодезических измерений и их функций. 
Неравноточные измерения

Веса результатов измерений В геодезической практике часто возникает необходимость производить математическую обработку совокупности неравноточных измерений. Применять к ним ранее рассмотренные формулы арифметической средины или средних квадратических погрешностей нельзя. Это утверждение хорошо иллюстрируется таким примером.

Пусть один и тот же угол измерен тремя наблюдателями одним и тем же прибором, но первый получил результат как среднее арифметическое на двух измерений угла, второй из трех измерений и третий из четырех. Каково будет вероятнейшее значение угла? Взять за вероятнейшее значение как среднее арифметическое из трех результатов угла нельзя. Первый результат в данном случае будет грубее остальных, а третий результат, наоборот, точнее первых двух. Следовательно, можно сказать, что второму результату доверяем больше, чем первому, а третьему — больше, чем первому и второму. Вот эту степень доверия к результату измерений в теории погрешностей, как отмечалось выше, и принято называть весом Р измерения и выражать соответствующими числами.

Если сказать, что какой-нибудь результат измерений имеет вес Р₁ = 5, а другой — Р₂ = 10, то это означает, что второй результат точнее первого в 2 раза.

Очевидно, что вес будет обратно пропорционален средней квадратической погрешности. Чтобы усилить различие между весами более точных и менее точных измерений, принято веса измерений считать обратно пропорциональным квадратам средних квадратических погрешностей.

, ,.. .,, (55).

где — некоторый коэффициент пропорциональности, выбранный при обработке данной совокупности измерений таким, чтобы веса по возможности выражались целыми числами.

Пример. Пусть два угла измерены со средними квадратическими погрешностями m₁ = 0,4 и m₂ = 0,6. Необходимо определить их веса Р₁ и Р₂.

.

.

Приняв, получим, .

Умножая веса на 36, получим Р₁ = 9, Р₂ = 4.

Таким образом, веса результатов измерений можно умножать и делить на одно и то же число. От этого соотношение весов не изменяется.

Пример. Найти веса углов, если их средние квадратические погрешности соответственно равны: m₁ = 2, m₂ = 8.

В соответствии с выражением (55) запишем.

и .

Разделив первое равенство на второе, получив.

(56).

то есть соотношение весов измерений обратно пропорционально соотношению квадратов средних квадратических погрешностей этих измерений.

Подставляя значение m в выражение (56), получим.

.

Отношение Р₁: Р₂ может равняться 16, когда Р₁ = 16, а Р₂ = 1, или когда Р₁ = 1, а Р₂ = 1/16, то есть веса измерений есть числа относительные.

Вес арифметический средины. Как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна (44).

.

где m₁ — средняя квадратическая погрешность отдельного результата равноточных измерений.

Обозначим вес отдельного результата через р, а вес арифметической средины через Р. Тогда по соотношению (56) будем иметь.

.

Если вес р отдельного результата измерений принять равным единице, то вес Р арифметической средины будет равен n, то есть числу измерений. Другими словами, вес Р арифметической средины в n раз больше веса р отдельного результата измерений.

Р = р. (57).

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице При равноточных измерениях критерием точности данного ряда наблюдений служит средняя квадратическая погрешность m отдельного результата. При неравноточных измерениях таким критерием служит средняя квадратическая погрешность результата с весом, равным единице.

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, получается, если вес какого-либо измерения принять равным единице, а среднюю квадратическую погрешность его обозначить через. Тогда по формуле (55) получим.

и .

Отсюда общее выражения веса примет вид.

или .

Подставив сюда значение квадрата средней квадратической погрешности, вычисляемого по формуле (20), получим.

(58).

где — истинная погрешность измерения.

Аналогично можно доказать, что.

(59).

где — вероятнейшая погрешность измерения.

По аналогии с выводами формулы (10) можно доказать, что р всегда равна нулю.

Соответственно для разности двойных измерений получим.

— при отсутствии систематических погрешностей.

(60).

где d — истинные погрешности разностей двойных измерений;

— при наличии систематических погрешностей в измерениях.

(61).

где d — вероятнейшие погрешности разностей двойных измерений.

На основании формулы (56) можно получить.

(62).

то есть средняя квадратическая погрешность отдельного неравноточного измерения равна средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из веса данного неравноточного измерения.