Расчёт множественных коэффициентов корреляции

Множественные коэффициенты корреляции R_i/{.} служат мерой связи одной переменной с совместным действием всех остальных показателей.

Вычислим точечные оценки множественных коэффициентов корреляции. Множественный коэффициент корреляции, например, для 1-го показателя Y вычисляется по формуле:

где |R| - определитель корреляционной матрицы R;

R_ii — алгебраическое дополнение элемента r_ii корреляционной матрицы R.

Все алгебраические дополнения R_ii были найдены на этапе расчёта частных коэффициентов корреляции, поэтому нам остается вычислить только определитель самой корреляционной матрицы. Чтобы найти определитель корреляционной матрицы, воспользуемся встроенной математической функцией Excel МОПРЕД.

Получим |R| = 0,166 346.

Множественный коэффициент детерминации R²_i/{.} (и его выборочная оценка r²_i/{.}) показывает долю дисперсии рассматриваемой случайной величины, обусловленную влиянием остальных переменных, включённых в корреляционную модель. Соответственно (1- R²_i/{.}) показывает долю остаточной дисперсии данной случайной величины, обусловленную влиянием других, не включённых в исследуемую модель факторов. Множественные коэффициенты детерминации получаются возведением соответствующих множественных коэффициентов корреляции в квадрат. Минашкин В. Г. Статистика: учебник для вузов / В. Г. Минашкин и др.; под ред. В. Г. Минашкина. — М.: Проспект, 2006. — с. 201.

Проверим значимость полученных множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Проверка значимости, т. е. гипотезы о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции, осуществляется с помощью статистики:

где l — порядок множественного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=4, например,), а n — количество наблюдений.

Произведя расчёты, получим результаты в таблице 12.

Для определения значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации нужно найти критическое значение F-распределения для заданного уровня значимости б и числа степеней свободы числителя н₁=l и знаменателя н₂=n-l-1. Для определения F_кр можно воспользоваться встроенной функцией Excel FРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность б=0,05 и число степеней свободы н₁=l=4 и н₂=n-l-1=50−4-1=45. Так же можно найти значения F_кр по таблицам математической статистики.

Получаем F_кр(0,05; 4; 25)= 2,578 739.

Таблица 12. Множественные коэффициенты корреляции и детерминации исследуемых показателей с выделением значимых коэффициентов (на уровне значимости б=0,05).

Если наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение F_кр=2,578 739, то гипотеза о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, у нас все коэффициенты, кроме переменной X₁₅, значимо отличаются от нуля.

Полученные данные позволяют сделать следующие выводы:

Множественный коэффициент корреляции =0,8671 значим и имеет достаточно высокое значение, что говорит о том, показатель Y — рентабельность имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков X₈ — премии и вознаграждения на одного работника, X₁₀ — фондоотдача, X₁₅ — оборачиваемость нормируемых оборотных средств и X₁₆ — оборачиваемость ненормируемых оборотных средств. Это даёт основание для проведения дальнейшего регрессионного анализа.

Множественный коэффициент детерминации r²_Y/{.}=0,7519 показывает, что 75,19% доли дисперсии Y — объёма промышленной продукции, обусловлены изменениями факторных признаков.

Факторные признаки тоже имеют достаточно высокие значения множественных коэффициентов корреляции и детерминации, что говорит об их сильной взаимосвязанности, за исключением переменной X₁₅ — её множественный коэффициент не значим, и это подтверждается тем фактом, что только 14,26% доли её дисперсии обусловлены изменениями переменных, включённых в рассматриваемую модель, а, соответственно 85,74% дисперсии обусловлены влиянием других, не включённых в корреляционную модель остаточных факторов.

Итак, полученные результаты корреляционного анализа, показавшие, что показатель Y — рентабельность имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков, позволяют перейти ко второму этапу статистического исследования — построению регрессионной модели.