Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осуществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каждую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке системы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной алгебры) обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы, А и В и выполните операцию сложения матриц:

" A=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]; B=[0 0 0; 7 7 7; 1 2 3];

" A+B.

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром.

При выполнении операции, А + скаляр (А — матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

" A+5.

ans = 6 6 6.

• 7 7 7
• 8 8 8

Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .*, ./, и .^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матрицами.

Кроме операции ./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления. Объясним разницу между этими операциями. Выражение, А ./ В приводит к матрице с элементами, А (k, m) /В (k, m), а выражение, А. В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной задачи линейной алгебры — нахождением корней системы линейных уравнений.

Например, если требуется решить систему линейных уравнений.

Ay = b,.

где, А — заданная квадратная матрица размера N x N, b — заданный вектор столбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение, А b (это равносильно операции: 1 A B ??).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами системы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

" u=[1 2 3]; v=[3 2 1];

" cross (u, v).

ans =.

— 4 8 -4.

Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произведение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:

" sum (u.*v).

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведение можно также вычислить как: u*v?. Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функции извлечения квадратного корня, например:

" sqrt (sum (u.*u)).

Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обычные математические функции, которые в традиционных языках программирования работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения.

" x=0:0.01:pi/2; y=sin (x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.