К вопросу уравнивания геодезической цепи из четырехугольников

В статье рассматривается вопрос развитии планового обоснования по проездам и просекам в застроенных и лесных районах, а также при создании строительных сеток. Чаще всего рекомендуется использовать способ без диагональных четырехугольников, где в каждой фигуре измеряют все четыре угла и длину одной из сторон, а в первом и последнем четырехугольниках — четыре угла и две стороны. Длины остальных сторон получают в результате вычислений, предварительно уровняв углы в четырехугольниках. Недостатком этого метода является уравнивание таких цепей упрощенным способом, а именно: распределение возникающих невязок в приращениях координат fx и fy поровну на все приращения. В статье предлагается на основе формул Гаусса для прямой угловой засечки составлять условное уравнение дирекционных углов, решая которое по способу наименьших квадратов, находят поправки к измеренным дирекционным углам. Вводя эти поправки, получают координаты искомых пунктов последовательными угловыми засечками. Как видно из предварительных вычислений, погрешности, возникающие вследствие использования дифференциальных поправок в координаты, очень малы и не могут оказывать значительного влияния на результат измерений.

The article examines the development of a planned study on the clearings and roads in built-up and forested areas, as well as for building networks. Most often, it is recommended to use the method without diagonal quadrangles, where in each figure measured all four corners and the length of one of the parties, and in the first and last rectangles — four corners and two sides. The length of the other sides is obtained by computing, previously having leveraged the angles in the quadrilaterals. The disadvantage of this method is the adjustment of such circuits in a simplified manner, namely: the distribution of residuals arising in the augmentation of coordinates fx and fy equally to all augmentation. The article proposes formulas of Gauss for direct angular notches to make the conditional equation of directional angles, deciding which method of least squares, find the amendments to the measured directional angles. Introducing these amendments, I get the coordinates of the desired points of successive angular intersection. As it may be seen from preliminary calculations, the errors resulting from the use of differential corrections in the coordinates are very small and may not have a significant influence on the measurement result.

Ключевые слова: СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, ОБРАТНЫЕ ВЕСА, ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ, КООРДИНАТЫ.

Keywords: METHOD OF LEAST SQUARES, REVERSE WEIGHT, GEODETIC NETWORK, COORDINATES, ACCURACY ASSESSMENT.

Известен метод построения планового геодезического обоснования в виде цепи из четырехугольников без диагоналей, где в каждом из них измеряются четыре угла и одна сторона, а в первом и последнем четырехугольниках — четыре угла и две стороны [1.2]. Длины остальных сторон получены в результате вычислений, предварительно уровняв углы в четырехугольниках. строительный лесной сетка невязка Недостатком этого метода является уравнивание таких цепей упрощенным способом, а именно: распределение возникающих невязок в приращениях координат fx fy поровну на все приращения (или пропорционально длинам сторон ходовой линии).

Суть предлагаемого способа заключается в следующем. Пусть имеем цепь (Рис.1), в которой пункты А, 1,2,…, n, В — исходные, координаты которых определены с достаточно высокой точностью. Внутри сети выполнены угловые измерения, позволяющие найти дирекционные углы сторон сети в каждом четырехугольнике. При использовании гиротеодолитов эти дирекционные углы можно сразу измерить. Тогда последовательными угловыми засечками по формуле Гаусса можно вычислить предварительные координаты точек 1.1, 1.2, …, 1.(n-1).

Для стороны S1. n путем решения обратной геодезической задачи вычисляют её дирекционный угол по формуле:

(1);

где: X1. n, Y1. n — известные координаты точки В1. n;

X1(n-1), Y1(n-1) -координаты точки 1(n-1), вычисленные последовательными угловыми засечками.

В результате для дирекционного угла этой линии появится угловая невязка:

(2);

где: б1. n (изм) — измеренное значение дирекционного угла;

б1.n (выч) — вычисленное значение дирекционного угла по формуле 1.

Тогда условное уравнение дирекционных углов будет:

(3);

Рисунок 1. Цепь геодезической сети из четырехугольников.

Для получения коэффициентов при неизвестных поправках в дирекционные углы потребуется частные производные по каждой измеренной величине.

Согласно формулам Гаусса для точки 1.1 запишем:

(4);

Дифференцируя (4) по каждому измеренному дирекционному углу, после преобразований получим:

(5);

На положение точки 1.2 будут влиять ошибки дирекционных углов б1(1.1), б2(1.1) и ошибки дирекционных углов б1(1.2), б2(1.2).

Для точки 1.2 запишем:

(6);

Дифференцируя (6), найдем частные производные по всем четырем дирекционным углам, получим:

(7).

Следуя подобным образом, получим следующий алгоритм вычисления коэффициентов при поправках в дирекционные углы.

(8);

где: j — номер четырехугольника;

ХОП.j, YОП. j, — координаты определяемой точки в j-том четырехугольнике;

ХЛ.j, YЛ. j, — координаты левой точки диагонали (по отношению к определяемой точки) в j-том четырехугольнике;

б1.i, и б2. i — дирекционные углы i-того четырехугольника, влияющие на определение координат в j-том четырехугольнике.

Дифференцируя уравнение (3), получим условное уравнение дирекционных улов для рассматриваемой сети следующего вида:

(9).

Решая полученное уравнение (9) по способу наименьших квадратов под условием [V2]=min, т. е. считая, что все измеренные дирекционные углы равноточны, получим искомые поправки к дирекционным углам, вводя которые в результате измерений дирекционных углов получим последовательными угловыми засечками координат определяемых пунктов.

Во избежание повторных громоздких вычислений и для контроля предлагается находить дифференциальные поправки в координаты по упрощенным формулам.

Пусть в результате уравнивания получены поправки к дирекционным углам V1 и V2 (рис. 2). Требуется найти поправки в координаты дX1−1' и дY1−1'.

Из (3) следует, что для вычисления поправок в координаты для случая линейной засечки они будут находиться по формулам.

(10).

где l1 и l2 — поправки в длины измеренных сторон S1 и S2.

Из рис. 2 видно, что дирекционный угол линии б1−1'-K будет б1−1'-K = б2+90?-180? = -(90?-б2), а для линии б1−1'-C = 90?+ б2.

Тогда для угла г получим г = б 1+90?- б 2 = 90? + (б1 — б2) (11).

Рис. 2 Схема линейной засечки

Для угла Ш будем иметь Ш = б1 + 90? — б2 = 90? + (б1 — б2) (12).

Учитывая, что поправки V1 и V2 малы, а длины линий S1 и S2 значительные, запишем.

(13).

Подставляя найденные значения углов г и Ш в (13), получим.

(14).

С другой стороны, запишем.

(15).

Из (14) следует, что.

(16).

Подставляя (16) в (10) с учетом выражения (15) получим окончательно:

(17).

Рассмотрим пример расчета этих поправок:

S1=1000,000 м; S2=1000,000 м; б1=90?; б2=150?; l1=l2=100мм;

XA=1000,000 м; YA=1000,000 м.

Как видно из приведенного примера, погрешности, возникающие вследствие использования дифференциальных поправок в координаты очень малы и не оказывают значительного влияния на результат измерений.

Список используемой литературы

• 1. Поклад Г. Г, Гриднев С. П. Геодезия, М., Академический проект, 2007. с.442;
• 2. Субботин И. Е., Мазницкий А. С. Справочник строителя по инженерной геодезии, Киев, 1972. с.179;
• 3. Соколов Ю. Г., Пшидаток С. К. Об определении координат геодезических пунктов линейными засечками. Политематический сетевой электронный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2007. № 32, С.8−17;
• 4. Соколов Ю. Г., Биматов И. Б. Упрощенный способ определения поправок в координаты при уравновешивании линейной триангуляции. Материалы научно-технической конференции, ТИСИ, г. Томск, 1972.

References.

• 1. Poklad G. G, Gridnev S.P. Geodezija, M., Akademicheskij proekt, 2007. s.442;
• 2. Subbotin I.E., Maznickij A.S. Spravochnik stroitelja po inzhenernoj geodezii, Kiev, 1972. s.179;
• 3. Sokolov Ju.G., Pshidatok S.K. Ob opredelenii koordinat geodezicheskih punktov linejnymi zasechkami. Politematicheskij setevoj jelektronnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. — Krasnodar: KubGAU, 2007. № 32, S.8−17;
• 4. Sokolov Ju.G., Bimatov I.B. Uproshhennyj sposob opredelenija popravok v koordinaty pri uravnoveshivanii linejnoj trianguljacii. Materialy nauchno-tehnicheskoj konferencii, TISI, g. Tomsk, 1972.