Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

Зная плотность совместного распределения, можно найти функцию распределения по формуле.

.

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины .

Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD равна.

Обозначим для краткости левую часть равенства через и применим к правой части теорему Лагранжа.

().

где.

Отсюда.

или (*).

Приняв, что равна площади прямоугольника, заключаем, что есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник к площади этого прямоугольника.

Перейдя в равенстве (*) к пределу при, когда, получим .

Следовательно, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю (плотность вероятности в точке).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Воспользуемся формулой определения вероятности точки в прямоугольник со сторонами и.

.

Тогда вероятность попадания точки в произвольную область равна сумме вероятностей попаданий точки в элементарные области:

Переходя к пределу при и получим.

. (*).

Геометрически равенство (*) означает: вероятность попадания случайной точки в область равна объему тела, ограниченного сверху поверхностью основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость.

Пример. Плотность распределения двумерной случайной величины.

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами.