Оценка адекватности модели тенденции

Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по уравнению тренда) уровни ряда достаточно близко подходят к фактическим их значениям, т. е. и мало отличаются друг от друга. Для оценки адекватности модели проводится анализ остатков .

Модели тенденции можно сравнивать по величине остаточной суммы квадратов.

(5.22).

Чем меньше эта величина, тем в большей мере уравнение тренда подходит для описания тенденции временного ряда. Обратимся к примеру 5.1 динамики числа зарегистрированных ДТП (на 100 000 человек населения) по Новгородской области за 2000−2008 гг.

Предположим, что было рассчитано не только уравнение экспоненты, но и уравнение линейного тренда

Для линейного тренда остаточная сумма квадратов составила 3874,62, а для экспоненты 2617,701. Следовательно, экспонента лучше описывает тенденцию ряда.

Другим показателем при выборе функции тренда является коэффициент детерминации . Чем выше , тем соответственно выше вероятность того, что данная модель тенденции описывает исходные данные. В нашем примере для экспоненты составил 0,9202, а для линейного тренда 0,8832, подтверждая еще раз, что экспонента в большей мере подходит для описания тенденции.

Величина отражает влияние случайной составляющей, т. е. показывает, какая доля вариации уровней динамического ряда не связана с тенденцией. Так, в нашем примере для экспоненты . Это означает, что лишь 8% вариации уровней динамического ряда не связаны с рассматриваемой тенденцией.

Однако рассмотренные критерии адекватности модели тенденции ( и ) могут привести к неправильным выводам, если не учитывать статистическую значимость параметров уравнения тренда. Общеизвестно, что можно по ряду из п точек построить полином степени , ион пройдет через все точки ряда. В этом случае , а . Однако в таком случае уравнение описывает исходные уровни ряда, но не является моделью тенденции, ибо отражает не только тенденцию, но и влияние случайной компоненты.

Если для нашего примера построить параболу пятой степени, то получим уравнение

Однако по t-критерию Стьюдента при 5%-ном уровне существенности параметры этой параболы оказываются статистически незначимыми. Поэтому, хотя для этой функции коэффициент детерминации и выше (0,98 585), ее нельзя считать лучшей формой уравнения тренда.

Уравнение тренда хорошо описывает тенденцию, если отсутствует автокорреляция в остатках , т. е. остатки текущего периода не коррелируют с остатками предыдущего периода.

Измерить автокорреляцию в остатках можно с помощью коэффициента автокорреляции остатков

(5.23).

где , т. е. остатки текущего периода; - остатки предыдущего периода.

Иными словами, автокорреляция в остатках оценивается так же, как и автокорреляция уровней ряда, с тем лишь отличием, что в расчетах используются остаточные величины , а не уровни динамического ряда .

Пример 5.5

Динамика численности детей в возрасте от 8 до 13 лет b N-ской области за последние 15 лет характеризуется параболой второй степени.

где - численность детей, тыс. человек; ; ; все параметры уравнения тренда статистически значимы.

Для рассматриваемой модели остаточные величины за 15 лет составили:

Исходя из формулы (5.23) коэффициент автокорреляции остатков окажется равным 0,627 824.

Его величина не столь мала, чтобы утверждать об отсутствии автокорреляции остатков. Очевидно, данное уравнение тренда не является наилучшим, ибо нарушена предпосылка МНК об отсутствии автокорреляции остатков.

Для комплексной оценки адекватности модели тенденции можно пользоваться и другими характеристиками, которые обычно рассматриваются при оценке качества регрессионных моделей, например средней ошибкой аппроксимации, показателями асимметрии и эксцесса для остаточных величин.