Проекционные методы. 
Численные методы. 
Основы научных вычислений

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида.

с линейными краевыми условиями.

В отличие от разностных методов, где приближенное решение представляется в виде сеточной функции, будем искать решение в виде.

где ср"(х) — система линейно независимых базисных функций и а_п — параметры. Функция (р₀(х) удовлетворяет краевым условиям (7.60), а остальные функции удовлетворяют однородным краевым условиям (7.60) (а = 0, р = 0). Поэтому приближенное решение (7.61) автоматически удовлетворяет краевым условиям (7.60). Система базисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при увеличении числа N используемых базисных функций. Очевидное условие нодобной сходимости таково: г№ —* и (х) при N—³? °о. Это так называемое условие полноты.

Будем предполагать, что функции у_п(х) непрерывно дифференцируемы. Подставим приближенное решение (7.61) в уравнение (7.59) и получим невязку

Если при некотором выборе коэффициентов а" выполнено равенство г (х₉ а_Л,…, a_N) = 0 при а < х < Ь, то функция является точным решением краевой задачи (7.59), (7.60). Однако подобрать так удачно функции _п(х) и коэффициенты а_п в общем случае не удается. Для получения приближенного решения можно использовать метод взвешенных невязок, выбирая некоторую систему весовых функций w_w п= 1,…, N и требуя, чтобы.

Применяя уравнение (7.62) для n= 1,N, получаем систему линейных уравнений, которую запишем в виде.

где.

Вычислив элементы матрицы и правой части уравнений и решив затем полученную систему, мы определим параметры а_т п = 1,…, N и получим приближенное решение (7.61) заданного дифференциального уравнения. Обычно матрица К является заполненной. Рассмотрим различные выборы весовых функций.

В методе поточечной коллокации w_n(x) = 5(.г — х_п), п = = 1,…, N, где 8(х) — функция Дирака и х_п — точки коллокации. Выбор таких весовых функций эквивалентен тому, что невязка г (х) полагается равной нулю в ряде заданных точек х_п. Тогда матрица К и вектор f имеют элементы.

Пример 7.12 (метод поточечной коллокации) Рассмотрим следующую краевую задачу:

Функция фоС*) = 1 — х удовлетворяет краевым условиям, а в качестве базисных функций, обращающихся в нуль при х = О и х = 1, можно взять систему {ф"С*) = s[n (nnx), п = 1,N}. Выберем точки коллокации х_п = nh, п = 1,N., где h = 1 /(N + 1). При этом

Решение системы уравнений для А^{, г}= 5 дает следующие значения коэффициентов, а = (0.4291, -0.0845,0.0204, -0.0070,0.0020). На рис. 7.14 показано точное решение задачи (7.64) и (х) = - х^А и приближенное решение для N=5.

Рис. 7.14. Решение задачи (7.64):

—точное решение;——приближенное решение (N= 5).

В методе Галёркина в качестве весовых функций берутся сами базисные функции: w_n(x) = ф"(х), п = 1,…, N. Тогда матрица К и вектор f имеют элементы

Этот метод был впервые использован Галёркиным и теперь обычно называется его именем. Основным недостатком метода Галёркина является необходимость вычисления интегралов.

Пример 7.13 (метод Галёркина) Рассмотрим краевую задачу (7.64). Функция q>o (x) и базисные функции выбираются такими же, как и в предыдущем примере. Тогда.

Решение системы уравнений для N = 5 дает следующие значения коэффициентов, а = (0.4563, -0.0958, 0.0223, -0.0113, 0.0056). На рис. 7.15 показано точное решение задачи (7.64) и (х) = 1 — х⁴ и приближенное решение для N= 5. Видно, что метод Галёркина дает лучшее приближение к точному решению, чем метод коллокации.

Рис. 7.15. Решение задачи (7.64):

— - точное решение;——приближенное решение (N- 5).