Векторы. 
Применение матриц и векторов в экономике

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Векторы применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия, а также экономика. На практике они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

1. Матрицы.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Нам известны основные операции над матрицами: равенство матриц; транспонирование; сложение; умножение матрицы на число; умножение матрицы на матрицу.

Матрицы впервые появились в середине ХVIII столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Р. Гамильтона. А уже общественный вклад в разработку общей теории матриц внесли русские математики А. Н. Крылов, Лапло-Данилевский.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В данной записи, например, матричный элемент а₁₁ = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂ = 2,1 — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент аij (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей столбцом:

Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S1 = 2· 100 + 5· 80 + 1· 130 = 730 ед. и 2-го — S2 = 3· 100 + 2· 80 + 4· 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:

Тогда общая стоимость сырья Q = 730· 30 + 980· 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S· B = (CA)B = (70 900).

Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т. е. матрицу:

а затем общую стоимость сырья:

Использование матриц в экономике обусловливает широкое применение векторов и их основных свойств. Векторы играют большую роль в разнообразных экономических расчетах и, как правило, используются наряду с матрицами. Векторы являются основным инструментом при решении задач, аналогичных задачам с применением матриц.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.

Пример 1.

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,.

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,.

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,.

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.

Пример 2.

Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции.

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Пример 3.

Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

Пример 4.

В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

• 1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;
• 2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;
• 3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

матрица вектор экономика Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением J-гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей.

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид:

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

Где I-я строка соответствует номеру типа сырья, а J-Й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей АГод умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матрицу ВA_год:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .