Отделение корней. 
Численные методы

Пусть дано уравнение вида (2.1), или (2.2),.

Процесс численного решения уравнения разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней.

Определение 2.2. Говорят, что корень Е, уравнения вида (2.1) или (2.2) отделен на данном промежутке, если он содержится в этом промежутке и других корней на том же промежутке нет.

Определение 2.3. Произвести полное отделение всех корней уравнения — значит разбить всю область допустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для проверки существования корня уравнения на данном интервале применяют некоторые теоремы о свойствах непрерывных функций. Приведем некоторые из них.

Теорема 2.3 (первая теорема Больцано — Коши). Если функция/(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ъ] существует, по крайней мере, один корень уравнения Дх) = 0.

Рис. 2.5. К теореме 2.3.

Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.3 на отрезке [а; Ь] не следует, что на данном отрезке существует один или несколько корней (рис. 2.5). Важно иметь признак, по которому можно судить о наличии на отрезке [а; b] только одного корня. Этот признак выражается следующей теоремой (рис. 2.6).

Теорема 2.4. Если функция /(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения /(х) = 0, и притом единственный.

Рис. 2.6. К теореме 2.4.

Вопрос о том, является ли функция монотонной, можно решить как элементарными методами, так и с помощью понятия производной, а именно: если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; ?>] и имеет производную fix) внутри отрезка, то при fix) > 0 функция Дх) возрастает, а при/'(х) < 0 функция Дх) убывает. Иначе говоря, если производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка [а; Ь], то функция Дх) монотонна на этом отрезке.

Сформулируем теорему о существовании и единственности корня уравнения вида (2.2).

Теорема 2.5. Если функция fix) непрерывна на отрезке [а; Ъ], принимает значения разных знаков и производная /'(х) внутри отрезка сохраняет постоянный знак, тогда внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения fix) = 0, и притом единственный.

Теорема о существовании и единственности корня уравнения вида (2.1) формулируется следующим образом (рис. 2.7).

Теорема 2.6. Если функции g (x) и hix) непрерывны на отрезке [а; Ъ], функция gix) монотонно возрастает на отрезке [а; Ь], а функция hix) монотонно убывает на отрезке [а; Ь] и для данных функций выполняются неравенства gia) h (b), тогда внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения g (x) = hix), и притом единственный.

Рис. 2.7. К теореме 2.6.

Отделение корней лучше всего произвести графически. Для этого необходимо построить либо графики функций g (x) и h (x) для уравнения вида (2.1), либо график функцииДх) для уравнения вида (2.2). Построив соответствующие графики, можно сделать предположение о том, в каких интервалах находятся корни уравнения. Это предположение затем следует проверить аналитически, применяя одну из теорем 2.3—2.6.

Пример 2.1

Отделите корни уравнения х³ — бх² + 20 = 0.

Решение

Построим график функцииу (х) = х³ — бх² -I- 20 (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Г рафик функции у (х) =х³ — бх² + 20.

На основе рис. 2.8 можно сделать предположение, что в каждом из отрезков [-2; -1], [2; 3], [5; 6] имеется по одному корню данного уравнения. Проверим это предположение для отрезка [2; 3]. На концах отрезка функция принимает значения.

т.е. значения разных знаков. Производная.

для всех х из интервала (2; 3), т. е. имеет постоянный знак. Следовательно, в силу теоремы 2.4 внутри отрезка [2; 3] уравнение х³ — бх² + 20 = 0 имеет единственный корень.

Подобными рассуждениями можно доказать, что внутри каждого отрезка [-2; -1] и [5; 6] имеется по одному корню, в чем предлагаем убедиться читателю самостоятельно.