Суммы Аарбу. 
Математика в экономике

называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу* функции / (а) для данного разбиения Т отрезка [а, b].

Пусть функция f{x) ограничена на отрезке [а, Ь_УТ— некоторое разбиение этого отрезка точками а = а, < а₂ < … < а_л = Ь, и m_l и Л/, — соответственно точная нижняя и точная верхняя грани/(а) на частичном отрезке (а,, а₂]. Тогда суммы^[1]

Поскольку т. < f (?_f) ^ Л/, — при е [д;., х_/+,]. то.

т.с. для данного разбиения при любой интегральной сумме выполняется неравенство:

Геометрический смысл сумм Дарбу показан на рис. 12.2. Возьмем для простоты непрерывную положительную функциюf (x) на отрезке [а, Ь) тогда m_j и М. — соответственно се минимум и максимум на [x_iy х_{/ +} ,], поскольку/(х) непрерывна на этом частичном отрезке и достигает своих точных нижней и верхней граней. Поэтому сумма S равна плошади ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции/(*); аналогично сумма s равна площади ступенчатой фигуры, содержащейся в этой криволинейной трапеции.

Рис. 12.2.

Заметим, что суммы Дарбу зависят только от разбиения Г, тогда как интегральная сумма, а зависит еще и от выбора точек на частичных отрезках __, xj. Для данного разбиения Тотрезка [а, Ь сумма, а — переменная величина в силу произвольного выбора §/, a s и S — некоторые числа.

• [1] Дарбу Жан Гастон (1842—1917) — французский математик.