Функция распределения случайной величины

Для вычисления вероятностей событий, связанных со случайной величиной, не требуется знание вероятностей Р (А) для всех событий /1е8. Достаточно знать для любого действительного х вероятности событий {аз: ?,(аз) < х}.

Функция F^(pc) = Р ({со: ^(аз) < х}), определенная для любогооо < х < +°°, называется функцией распределения случайной величины Случайная величина ?, полностью задается функцией распределения F^(x). Функция распределения А (х) является наиболее общей формой закона распределения случайной величины. При этом под законом распределения случайной величины понимается всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Пример 2.3. Пусть (Q, Р) — произвольное вероятностное пространство, %(со), оз е Q — случайная величина с функцией распределения F^(x). Выразить через функцию распределения F^(x) вероятности событий.

• а) {со: ^(со) > х};
• б) {со: x_t < ^(со) < х₂}.

Решение, а) Рассмотрим события {со: ^(со) > х} и {со: %(со) < х). Они несовместны и их объединение является достоверным событием, поэтому.

отсюда получаем.

б) Событие {со: ^(со) < х₂) можно представить в виде объединения двух несовместных событий {со: Х < %(со) < х₂) и {со: ^(со) < хф поэтому.

откуда следует.

Функция распределения F?(x) любой случайной величины обладает следующими свойствами.

Свойство 2.1. FJx) — неотрицательная функция, значения которой принадлежат [0, 1], т.с. для любого х

Это следует из определения функции распределения и того, что вероятность любого события заключена в промежутке от 0 до 1.

Свойство 2.2. Если Х < х₂, то F_t(x) < F^(x₂), т. е. функция распределения является неубывающей функцией.

Так как вероятность любого события неотрицательна, то из (2.3) получаем.

следовательно, выполняется свойство 2.2.

Свойство 2.3. Если Fc (x) функция распределения, то.

Во-первых, ясно, что эти пределы существуют. Это следует из того, что F"(x) — монотонная и ограниченная функция. Событие (со: < ^(ш) < +°°} является достоверным событием, а следовательно, его вероятность lim /ч (х) долж;

Д-—"СО ^.

на быть равной 1. Аналогично, событие {со: ^(со) < -°°} является невозможным событием, поэтому его вероятность lim FJx) = 0.

д^-оо ч Свойство 2.4. Р ({ = х}) = 0 в каждой точке непрерывности функции распределения /л (х).

Доказательство. Для любого 8 > 0 событие {?, = xj с {х! — е < < < Х (+ е}. Поэтому на основании свойства 2.7 из гл. 1 имеем.

Так как это неравенство справедливо для произвольного е > О, то устремляя е —*• 0 и учитывая, что по условию Х — точка непрерывности функции Ft (x), получим.

Случайная величина была определена как функция на пространстве элементарных исходов. Случайная величина ?, отображает это пространство Q на некоторое множество принадлежащее прямой R. Обозначим через ЙЙ _t множество, содержащее все квадрируемые подмножества О]. Можно показать, что функция распределения F (x) случайной величины определяет на множестве вероятность. Таким образом получено новое вероятностное пространство (Г2[ FA), проиллюстрированное на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Во многих случайных экспериментах обычно наблюдаются значения, которые принимает случайная величина, а не исход ш, которым закончился сам эксперимент. Это приводит к тому, что отсутствует возможность на основании данных эксперимента определить вероятности Р (А), А е 28, в то время как, например, по частотам можно определить вероятности F^{x). Поэтому в дальнейшем, говоря о случайной величине 4, будем считать, что задано вероятностное пространство (Q_b S8_1; FA).