Развитие пластических деформаций в изгибаемой балке

Рассмотрим состояние чистого изгиба в стержне с произвольным, но симметричным относительно двух осей сечением (рис. 13.8). На элемент этого стержня действует изгибающий момент М_г.

Если стержень деформируется в пределах упругих деформаций, то, как известно,.

Предположим, что при постепенном увеличении момента M_v напряжения в крайних волокнах достигнут предела текучести ст_т, но все сечение будет работать еще в упругой стадии. Эпюра ст соответствует состоянию I. Для определения момента, соответствующего состоянию I, справедлива формула

При дальнейшем увеличении момента М₂ (M_z > Му) текучесть будет постепенно распространяться в глубину сечения. Принимаем в качестве диаграммы деформирования материала диаграмму Прандтля (см. рис. 13.2). Диаграмма напряжений для некоторого состояния при М₂ > Му будет иметь вид, показанный на рис. 13.8, в. При последующем увеличении изгибающего момента наступит предельное равновесие, при котором эпюра примет вид двух прямоугольников (рис. 13.8, г). Внутренний предельный изгибающий момент определим, но формуле.

Как для сжатой, так и для растянутой половины сечения интеграл jijdF равен статическому моменту площади, лежащей по одну сторону от оси 2. Обозначив 2 ydF= W_np, получим.

где 1Т_пр = 25₀; 5₀ — статический момент полусечения относительно оси 2.

Отметим, что для несимметричного сечения нейтральная ось в предельном состоянии не будет совпадать с центром тяжести сечения, она пройдет через некоторую точку, разделив площадь всего сечения на две равные части.

Предельный момент сопротивления больше обычного момента сопротивления (W_np > W_z). Так, например, для прямоугольного сечения W_z = hh²/6, a W_ll? = Ыг/4, т. е. W_iyp в 1,5 раза больше обычного момента сопротивления. Предельный момент (М_пр = 1,5.^) также в 1,5 раза больше момента Му, который соответствует максимальному моменту, возникающему в сечении при работе в упругой стадии.

При других типах сечений различие между М_пр и М не так велико. Например, для двутаврового сечения высотой h с шириной полки Ь_у толщиной полки 8_1? а стенки 6₂ момент инерции сечения будет равен.

где h = h — 28, b = b — 5₂.

Момент сопротивления равен.

Предельный момент сопротивления равен.

Отношение.

Например, для прокатного стального двутавра № 70а (Ь_х/Ь = 0,93; hjh = 0,93).

В заключение отметим, что в предельном состоянии в сечении появляется пластический шарнир. Одна часть бруса может поворачиваться относительно другой как вокруг шарнира с той лишь разницей, что в идеальном шарнире момент равен нулю, а в этом пластическом шарнире момент равен М_пр.

Рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой. Эпюра моментов очерчена по квадратной параболе (рис. 13.9, а). Предположим, что максимальный момент (g/²/8) превышает момент, который балка может воспринять в упругой стадии М = a_TW_z. Проведем на эпюре М (рис. 13.9, в) линию, определяющую значение момента М. На протяжении длины 2а возникнут пластические деформации в сечениях балки. Наибольшая глубина проникания пластических деформаций будет в среднем сечении. По длине балки глубина проникания текучести будет неодинаковой.

Рис. 13.11.

Рис. 13.10.

Эпюры напряжений в разных сечениях будут различны (рис. 13.9, в).

Возникает вопрос: что произойдет с балкой, если ее полностью разгрузить? Балка, работающая в упругой стадии, при разгрузке полностью выпрямляется и все возникшие в ней напряжения исчезают. Иначе обстоит дело в том случае, когда в части балки развивались пластические деформации и отдельные волокна испытали текучесть.

Из курса сопротивления материалов известно, что при разгрузке деформации образца протекают по прямой линии (рис. 13.10), поэтому при разгрузке сечения та часть эпюры ст, которая исчезает после снятия нагрузки, будет очерчена прямой линией. Пластический шарнир как бы начнет «закрываться», но это закрытие будет неполным. Часть напряжений в сечениях балки останется. На рис. 13.11, а показана суммарная эпюра остаточных деформаций, когда часть нагрузки с балки снята (рис. 13.11, б). Если нагрузка снята полностью, то эпюра остаточных напряжений имеет вид, показанный на рис. 13.11, в или г. Эпюра остаточных напряжений будет соответствовать взаимно уравновешенной группе внутренних сил, при которой как продольная сила, так и изгибающий момент равны нулю.