Условия энергетического баланса при автоколебаниях

Различают два случая выхода на режим автоколебаний. При так называемом мягком самовозбуждении изменение энергии колебаний за один цикл АЕ(Л) = АЕ₊ — АЕ происходит в соответствии с графиком, приведенном на рис. 8.7, а. Напомним, что А?₊ — подводимая энергия за счет внешнего источника, а АЕ — отводимая энергия за счет сил сопротивления. В этом случае положение равновесия /1 = 0 оказывается неустойчивым, так как при отклонении от этого положения Д? > 0, а следовательно, начнется раскачка. При Л = Л, имеем АЕ = 0, что отвечает установившимся колебаниям с постоянной амплитудой. В устойчивости этого режима легко убедиться, если дать малые отклонения АЛ. Поскольку АЕ > 0 при Л < Л. и АЕ < 0 при А > А «имеем А —>А,.

При жестком возбуждении (рис. 8.7, б) положение равновесия А = 0 — устойчиво, стационарный режим с амплитудой Л., — неустойчив, а с амплитудой Л.₂ — устойчив. Таким образом, в этом случае для возбуждения автоколебаний требуются некоторые ненулевые начальные условия, при которых Л > Л.,. Подобную картину мы наблюдаем в маятниковых часах, для запуска которых маятник следует отвести дальше некоторого критического положения.

Рис. 8.7.

На фазовой плоскости (рис. 8.8) режиму с амплитудой Л._х отвечает так называемый неустойчивый предельный цикл 1, от которого спирали «разбегаются» в разные стороны. При начальных условиях, соответствующих точкам за пределами неустойчивого предельного цикла, спирали наматываются на устойчивый предельный цикч 2 с амплитудой А._Т Точку 0 называют фокусом.

Рис. 8.8.

Рассмотренные случаи объединяет одно общее требование: устойчивому режиму автоколебаний предшествует область динамической неустойчивости, при которой Д?₊ > АЕ (АЕ> 0). В дифференциальной форме этому требованию отвечает условие (8.24). Итак, для возникновения автоколебаний необходимым условием служит появление области динамической неустойчивости, которая может быть обнаружена на уровне линейного приближения. Однако для непосредственного определения амплитуды автоколебаний необходимо решить задачу в нелинейной постановке.

Может возникнуть вопрос, почему стационарные автоколебательные режимы возможны лишь в нелинейных системах. Представим себе, что в автономной системе (т. е. при отсутствии вынуждающих сил) все силы линейно зависят от q и q. Тогда в соответствии с формулой (5.68) изменение энергии за один период пропорционально квадрату амплитуды, т. с. д? = дЛ² «^гле д — коэффициент пропорциональности. При АЕ< 0 (<;< 0) колебания затухают, а при АЕ > 0 (с, > 0) имеет место раскачка. Таким образом, при, А * 0 исключена возможность выполнения условия АЕ (А) = 0. (Случай д = 0 должен быть исключен из рассмотрения как соответствующий неустойчивому состоянию, поскольку любое отклонение с, приводит к одному из перечисленных выше режимов.) Графически подводимая энергия А?₍ и отводимая энергия АЕ в линейной системе отображаются двумя параболами, проходящими через начало координат и нигде не пересекающимися. В этом случае система либо не возбуждается вовсе, либо амплитуда колебаний неограниченно растет. Отсюда следует, что режим автоколебаний возможен только в нелинейной системе.