Исследование остаточного члена модели

Простейший подход к выявлению ошибок спецификации заключается в графическом представлении поведения остаточного члена е (т. е. в виде графика связи е с номером наблюдения i (рис. 5).

Если зависимость, изображенная на этом графике, имеет регулярный (неслучайный) характер (рис. 5, а), то это означает, что исследуемое уравнение регрессии неверно специфицировано.

Рис. 5.

Существует и ряд аналитических тестов обнаружения ошибок спецификации, суть которых состоит либо в преобразовании случайных отклонений, либо в масштабировании зависимой переменной, чтобы сравнить начальное и преобразованное уравнения регрессии на основе известного критерия.

К примеру, в тесте Рамсея (RESET):

а) оценивают линейную регрессию между переменными задачи:

• б) анализируют графически зависимость еДу,). Если она может быть представлена явной функциональной зависимостью e = f (Y), то данную зависимость вводят в исходное уравнение регрессии и затем оценивают уравнение Y = Ь₀ + Ь, Х, + Ь_гХ_г +… + b_mX_m + f (Y)+е;
• в) сравнивают коэффициенты детерминации для начального и вновь построенного уравнений регрессии на основе следующей F-статистики:

Здесь п — число наблюдений, к — число параметров в новой модели, гчисло новых регрессоров (одночленов уравнения). Статистика F имеет распределение Фишера с числами степеней свободы V, = г, v₂= п-к. Если Fстатистика окажется статистически значимой, то это означает, что исходное уравнение регрессии было неправильно специфицировано.

В качестве примера проведем анализ зависимости суммарных издержек от объема выпуска инновационного продукта. С позиции экономической теории такая зависимость выражается кубической функцией:

Пусть на начальном этапе эта связь моделируется линейной функцией:

Модель (95), скорее всего, будет неудовлетворительной по ряду статистических показателей. В частности, в изменении отклонений е, проявится системность, которая отразится в зависимости случайного отклонения от значений результирующего показателя (рис. 6).

Рис. 6.

Ломаная линия графика соответствует кубической функции. Поэтому в модель (95) целесообразно ввести два дополнительных регрессора у² и у?:

Далее сравнивают коэффициенты детерминации R и R² для уравнений (96) и (95) на основе F-статистики (при этом к = 4; г =2). Если^мабп > = F*zn-4 • ^Т0ГД^а есть основания считать, что модель (95) неверно специфицирована.

Дополнением либо альтернативой к тесту Рамсея может служить тест множителя Лагранжа, суть которого поясним на этом же примере.

По виду зависимости e = f{Y) высказывается предположение о необходимых направлениях уточнения модели. В нашем случае линейная зависимость должна быть заменена кубической, что потребует введения двух дополнительных регрессоров xf и xf. Следовательно, строится модель (94). Для вновь построенной модели определяется коэффициент детерминации R². Доказано, что при большом объеме выборки п произведение nR²имеет х²— распределение с числом степеней свободы г, равным числу добавленных регрессоров модели. На этом основании построенная статистика сравнивается с соответствующей критической точкой у}_г. Если nR² >х², то первоначально выбранная модель должна быть отклонена в пользу вновь построенной.

В дополнение к данной теории отметим, что результативность как в макро-, так и в микроэкономике традиционно описывают производственными функциями, связывающими выпуск продукции с затратами ресурсов. Форма такой функции определяется принимаемыми к рассмотрению факторами производства и, как только что мы отметили, допускает линейное, кубическое и иные представления. На практике же как форму, так и функцию для отражения связи выхода продукции с затратами на ее производство приходится определять методами регрессионного анализа.

При прогнозировании развития отраслей наиболее-часто используют производственную функция Кобба-Дугласа. Она связывает выпуск у с величиной производственных фондов К и затратами живого труда L:

где А и а, (3 — некоторые постоянные.

Для оценки параметров производственной функции Кобба-Дугласа с помощью модели множественной линейной регрессии необходимо прологарифмировать данное уравнение:

При этом обычно предполагается, что ошибки модели обладают свойствами, необходимыми для оценивания линейной регрессии.

При построении производственной функции с использованием данных временного ряда целесообразно учесть темпы общего научно-технического прогресса, введя в уравнение Кобба-Дугласа множитель е^п. где fвремя, а гкоэффициент, отражающий темп инновационных изменений.

Итак, стандартная схема анализа множественной регрессии состоит в следующем:

• ? подбор начальной модели на основе выводов экономической теории, априорных знаний об объекте исследования, опыта исследователя и его интуиции;
• ? оценка параметров модели по имеющимся статистическим данным;
• ? проверка качества модели с помощью f-статистики для коэффициентов регрессии, F-статистики для коэффициента детерминации и путем анализа поведения отклонений;
• ? при неудовлетворительном ответе по какому-либо тесту модель совершенствуется с целью устранения выявленного недостатка;
• ? при положительных ответах по всем проведенным тестам модель считается качественной и может быть использована для анализа и прогноза результирующего показателя.

Однако абсолютизация полученного результата недопустима, поскольку даже качественная модель является подгонкой спецификации модели под имеющийся набор данных. Поэтому достаточно часто исследователи, обладающие разными наборами данных, получают разные модели для объяснения поведения одного и того же показателя. Проблематично и использование модели для прогнозирования значений объясняемой переменной. Иногда хорошие с точки зрения диагностических тестов модели обладают весьма низкими прогнозными качествами.

Отсюда следует, что одно из главных направлений эконометрического анализа — постоянное совершенствование моделей. Здесь следует отметить, что какого-то глобального подхода, определяющего заранее возможные пути совершенствования, нет и, скорее всего, быть не может. Исследователь должен помнить, что совершенной модели не существует. Вместе с тем, при всех недостатках принятие решений на основе моделей приводит в целом к гораздо более точным результатам, чем на основе интуиции.