Физико-математическая модель и принципы теплового проектирования

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение

описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы из большого количества реализаций теплопроводности выделить явление теплопроводности и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо присовокупить условия однозначности, которые содержат физические, геометрические, граничные и временные условия в (Г)-, (Ф)-пространствах согласно АТН (см. гл. 1,10).

Геометрические условия определяются формой и размерами образца, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия формируются теплофизическими параметрами тела C_v и распределением внутренних источников теплоты. Временные (начальные) условия характеризуются распределением температуры в теле в начальный момент времени.

От граничных условий зависят особенности протекания процесса на поверхности тела, они могут быть заданы несколькими различными способами.

Для граничных условий I рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

где Т_СТ — температура поверхности тела; дг_ст, y_CJ, z" — координаты поверхности тела.

В частном, практически важном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется по времени и при этом она постоянна по поверхности, Г_ст = const.

В случае граничных условий II рода заданной является величина плотности теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой момент времени, т. е.

В некоторых частных случаях, например при нагревании металлических изделий в высокотемпературных печах q" = const.

В случае граничных условий III рода задаются температура среды Т₀ и условия теплообмена этой среды с поверхностью тела.

Процессы теплообмена между средой и телом являются исключительно сложными и зависят от многих факторов. Интенсивность теплообмена между поверхностью тела и средой описывается согласно гипотезе Ньютона — Рихмана выражением.

где, а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м² • К). Как следует из данной формулы, коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемой или воспринимаемой единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

_ _.

С учетом выражения для плотности теплового потока q = -Xl"—, где.

дп

X — коэффициент теплопроводности материала; 1″ — единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания температуры^[1], граничное условие III рода запишется в виде.

Когда коэффициент теплоотдачи имеет большие значения (например, при кипении жидкости на поверхности тела), граничные условия III рода переходят в граничные условия I рода, так как в таковом случае температура поверхности тела и температура жидкости становятся практически равными.

Граничные условия IVрода формулируются из условия равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения тел, т. е.

При полном тепловом контакте оба тела по поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, т. е. изотермы непрерывно переходят из одного тела в другое, однако градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (11.17).

Дифференциальное уравнение (11.16) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение задачи может быть выполнено аналитическим, численным или экспериментальным методом. В последнем случае используются методы физического подобия и аналогий.

• [1] См.: Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. С. 6, или в болееобщй форме: Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1971. С. 60, 96.