Вероятностные распределения. 
Прогнозирование и планирование использования земельных ресурсов и объектов недвижимости

При обработке наблюдений, характеризующих использование земельных ресурсов, аналитику приходится иметь дело со случайными величинами.

Случайными величинами называют переменные, которые способны принимать различные значения от наблюдения к наблюдению. Если возможные значения случайной величины можно пронумеровать с помощью целых чисел, то такая случайная величина называется дискретной. Примером дискретных случайных величин может служить количество поставленных на учет в конкретном регионе или результаты кадастровой оценки, проводящейся с заданной периодичностью. Если возможно любое значение анализируемого показателя в пределах определенного интервала, то говорят о непрерывной случайной величине.

При работе со случайными величинами предсказать их точное значение невозможно, но можно установить статистическую закономерность изменения случайной величины.

Закон распределения случайной величины — это закон, по которому каждому значению или некоторой области значений случайной величины ставится в соответствие вероятность того, что случайная величина примет это значение или попадет в заданную область¹.

Аналитическим отображением этих законов являются функции распределения. Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение для большого числа наблюдений.

Для того чтобы подобрать распределение вероятности, наилучшим образом описывающее исследуемые наблюдений, при прогнозировании использования земельных ресурсов целесообразно пользоваться методикой А. Дамодарана^[1][2]. Сутью данной методики следует считать проверку исследуемых наблюдений на соответствие четырем следующим условиям: непрерывность, симметричность, ограниченность и экстремальность.

Про непрерывность и дискретность данных уже говорилось. Симметричностью данных называют одинаковую вероятность положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания.

При исследовании ограниченности отвечают на вопрос, существуют ли какие-либо ограничения на анализируемую величину. Например, цена земельного участка не может быть отрицательной; или доля поставленных на кадастровый учет объектов недвижимости не может быть больше 100%.

При анализе экстремальности исследуют, какова вероятность появления значений, сильно удаленных от математического ожидания. В некоторых распределениях она очень мала, в других существенна.

Рассмотрим этапы определения вероятностного распределения случайной величины.

На первом этапе определяется дискретность или непрерывность анализируемых наблюдений. После выявления этого дальнейшие действия проводятся одинаково как для одного, так и для другого случая.

На втором этапе выясняется симметричность данных. Если данные симметричны, то затем выявляется, группируются ли данные вокруг какого-либо центрального значения или равномерно распределяются.

Проверить распределение на симметричность можно с помощью коэффициента асимметрии Пирсона:

где X — среднее значение выборки; Мо — мода выборки; а — среднее квадратическое отклонение.

Значение коэффициентов Пирсона может быть положительным или отрицательным.

Если А_п > 0, то распределение с правосторонней (положительной) асимметрией.

Если А_п < 0 — с левосторонней (отрицательной) асимметрией.

Если |А_п | < 0,25, то ассиметрия считается незначительной.

Если 0,25 < |А_п | < 0,5, то ассиметрия считается умеренной.

Если |А_П| > 0,5, то ассиметрия считается существенной.

Третий этап подчинен анализу существования ограничений на анализируемые данные. Вычислить это с помощью конкретной формулы в общем виде не представляется возможным, поэтому наличие или отсутствие ограничений данных определяется в большинстве случаев путем логических умозаключений.

Четвертый этап посвящен оценке вероятности появления крайних значений, т. е. значений, отличающихся от математического ожидания.

Анализируя наиболее часто встречающиеся случаи определения подходящего вида распределения для данных, описывающих экономические процессы, А. Дамодаран выделяет следующие основные закономерности.

Если дискретные данные симметричны и группируются вокруг математического ожидания, то лучше всего они описываются биномиальным распределением.

Биноминальное распределение — распределение количества удачных исходов испытаний в последовательности из заданного числа независимых случайных экспериментов с заданной вероятностью. Например, количество выявленных нарушений земельного законодательства при определенном количестве проверок в рамках государственного земельного контроля. Пример биномиального распределения представлен на рис. 2.3.

Если дискретные данные симметричны, но не группируются вокруг математического ожидания, то лучше всего они описываются равномерным распределением.

Дискретное равномерное распределение существует в том случае, если случайная величина имеет конечное число значений с одинаковыми вероятностями (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Пример равномерного распределения.

Если дискретные данные асимметричны и при этом наблюдаются только положительные значения, то лучше всего они описываются геометрическим распределением.

Геометрическое распределение показывает вероятность того, на каком испытании произойдет успешное событие. Например, с какого раза орган кадастрового учета примет документы на земельный участок. Визуально геометрическое распределение представлено на рис. 2.5.

Если дискретные данные асимметричны и при этом асимметрия в основном положительная, то лучше всего наблюдения описываются отрицательным биномиальным распределением.

Рис. 2.5. Пример геометрического распределения.

Отрицательное биномиальное распределение позволяет оценить вероятность заданного количества проведенных испытаний для нужного количества положительных исходов. Например, сколько нужно заседаний согласительной комиссии, чтобы снизить кадастровую стоимость 30% объектов недвижимости в городе. Форма отрицательного биномиального распределения представлена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Пример отрицательного биномиального распределения.

Если дискретные данные асимметричны и при этом асимметрия в основном отрицательная, то лучше всего наблюдения описываются гипергеометрическим распределением.

Гипергеометрическое распределение оценивает вероятность заданного количества успешных испытаний в выборке из генеральной совокупности. Например, вероятность найти 10 ошибок при проверке.

20 отчетов о кадастровой оценке земель. Графически гипергеометрическое распределение представлено на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Пример гипергеометрического распределения.

Если непрерывные данные симметричны и не группируются вокруг математического ожидания, то лучше всего они описываются равномерным распределением.

Равномерное непрерывное распределение — это распределение непрерывной случайно величины, для которой равновероятны любые значения на заданном отрезе. Графически равномерное непрерывное распределение представлено на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Пример непрерывного равномерного распределения.

Если непрерывные данные симметричны, группируются вокруг математического ожидания и вероятность появления крайних значений крайне низкая, то лучше всего они описываются нормальным распределением.

Нормальное распределение, или распределение Гаусса, лучше всего описывает данные, которые имеют четкое тяготение к математическому ожиданию, равную вероятность появления положительных и отрицательных отклонений от среднего значения и для которых вероятность появления значений, значительно удаленных от математического ожидания, крайне мала. Популярность математического ожидания объясняется в первую очередь тем, что оно весьма полно характеризуется двумя параметрами: средним значением и стандартным отклонением^[3]. Графически нормальное распределение представлено на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Пример нормального распределения.

Если непрерывные данные симметричны, группируются вокруг математического ожидания и вероятность появления крайних значений низкая, то лучше всего они описываются распределением Коши.

Распределение Коши по внешнему виду и свойствам близко к распределению Гаусса, но при этом отличается несколькими ключевыми особенностями, главными из которых является гораздо большая вероятность появления значений, сильно отличающихся от среднего значения (появляются так называемые «толстые хвосты»). Изображение распределения Коши представлено на рис. 2.10.

Если непрерывные данные симметричны, группируются вокруг математического ожидания и существуют ограничения на данные, то лучше всего они описываются треугольным распределением (рис. 2.11).

Треугольное распределение используется для моделирования случайной величины в условиях недостатка данных, т. е. когда точный закон неизвестен. Параметры часто определяются путем экспертного опроса.

Если непрерывные данные асимметричны и при этом наблюдаются только положительные значения, то лучше всего они описываются экспоненциальным распределением.

С помощью экспоненциального распределения оценивают время между двумя последовательными свершениями одного и того же события. Экспоненциальное распределение абсолютно непрерывно и сугубо положительно, что и показано на рис. 2.12.

Рис. 2.10. Пример распределения Коши:

-fix), —Fix)

Рис. 2.11. Пример треугольного распределения.

Рис. 2.12. Пример экспоненциального распределения.

Если непрерывные данные асимметричны и при этом наблюдаются в основном положительные значения, то лучше всего они описываются логнормальным распределением.

Логнормальным распределением, или логарифмически-нормальным, называют распределение случайной величины, при котором ее логарифм подчиняется нормальному распределению (рис. 2.13). Логнормальное распределение может быть использовано, например, при оценке вероятности превышения установленных норм содержания вредных веществ при анализируемом способе использования земельного участка.

Рис. 2.13. Пример логнормального распределения.

Если непрерывные данные асимметричны и при этом наблюдаются в основном отрицательные значения, то лучше всего они описываются распределением экстремальных значений.

Данное распределение используется для приближенного моделирования максимумов конечных последовательностей случайных величин. Например, для оценки вероятности отказов автоматизированных систем кадастра недвижимости. Форма распределения экстремальных значений показана на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Пример распределения экстремальных значений.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Дайте определение понятия «статистическое наблюдение».
• 2. Какие бывают формы статистического наблюдения?
• 3. Что такое объект статистического наблюдения?
• 4. Охарактеризуйте временной ряд данных.
• 5. Чем отличаются моментные и интервальные временные ряды?
• 6. Как рассчитать абсолютный прирост и темп роста?
• 7. Что такое выборка и чем она характеризуется?
• 8. Какие величины называют случайными?
• 9. С помощью каких условий определяют форму распределения случайной величины?
• 10. Если есть возможность оценить вероятности всех возможных исходов при реализации проекта, то каким видом распределения лучше воспользоваться?
• 11. Если известно, что анализируемые непрерывные данные асимметричны, а наблюдаемые отклонения в основном положительные, то каким видом распределения лучше воспользоваться?
• 12. Равновероятны ли крайние положительные и крайние отрицательные отклонения от математического ожидания в распределении Гаусса?
• 14. Что такое «толстый хвост»?

• [1] Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. М. :Советское радио, 1960.
• [2] Дамодаран А. Стратегический риск-менеджмент: принципы и методики: пер. с англ. М.: ИД «Вильямс», 2016.
• [3] Дамодаран А. Стратегический риск-менеджмент: принципы и методики.