Проблема пропущенных и избыточных факторов. 
Эндогенность и мультиколлинеарность

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • последствия невключения в модель существенных переменных;
• • последствия включения в модель несущественных переменных;
• • определения эндогенности и инструментальных переменных; уметь
• • проводить диагностику мультиколлинеарности данных; владеть
• • навыками проведения RESET-теста Рамсея в основных статистических пакетах;
• • навыками применения методов пошагового включения и исключения переменных в основных статистических пакетах;
• • навыками проведения теста Хаусмана в основных статистических пакетах.

Смещение в оценках коэффициентов, вызванное невключением существенных переменных

Как уже отмечалось при формулировке теоремы Гаусса — Маркова, эта теорема справедлива, если модель правильно специфицирована, т. е. имеет правильную функциональную форму (ее выбор обсуждался в предыдущей главе), все необходимые факторы в модель включены, а «лишних» факторов нет. Но как определить, какие факторы являются необходимыми, а какие — «лишними»? Каковы последствия неправильного выбора факторов? Обо всем этом пойдет речь в текущей главе.

Для того чтобы понять последствия невключения в модель необходимых факторов, рассмотрим следующий пример.

Предположим, что данные Y_it Х_и, Х._ц, г — 1,…, п, были порождены с помощью процесса У = (3₀ + p, Xj + Р₂Х, + г.

Однако исследователь об этом не подозревает и оценивает модель, в которой переменная Х₂ пропущена:

Тогда МНК-оценка коэффициента Pj будет иметь вид (см. задачу 3.2).

Покажем, что эта оценка будет смещенной. Действительно,.

Для проверки, является ли эта оценка несмещенной, найдем ее математическое ожидание:

поскольку математические ожидания ошибок равны нулю в силу теоремы Гаусса — Маркова.

Мы показали, что оценка коэффициента р, будет смещенной во всех случаях, кроме следующих:

• 1) Р_>; = 0, что тривиально;
• 2) cov (X_vX₂) = 0, т. е. когда пропущенный и включенный фактор не коррелируют.

Во всех остальных случаях оценка коэффициента Р, является смещенной и несостоятельной, причем величина смещения равна.

Как следует из последней формулы, знак смещения зависит от знаков двух множителей: коэффициента при невключенном факторе и выборочной ковариации включенного и невключенного факторов. Аналогично можно показать, что оценка свободного члена также будет смещенной.

Если модель, «порождающая данные», часто именуемая в учебниках «истинной», содержит более двух переменных, а оценивается модель, из которой часть факторов исключена, то оценки коэффициентов при включенных факторах будут смещенными, как и в рассмотренном выше примере. В этом случае удобнее применить матричный аппарат.

Предположим, что порождающая данные модель имеет следующий вид:

где Y — и-мерный вектор; X — матрица размера п х к; Z — матрица размера ft X /; р, у — соответственно к- и /-мерный векторы коэффициентов; е — ft-мерный вектор ошибок, удовлетворяющий условиям теоремы Гаусса — Маркова.

При этом оценивается модель, где факторы, образующие матрицу Z, опущены;

Тогда МНК-оценка вектора р будет иметь вид р = (Х^ГХ) 'X^rY. Покажем, что эта оценка является смещенной:

Но последнее слагаемое равно нулю, поскольку ошибки удовлетворяют условиям теоремы Гаусса — Маркова. Таким образом,.

Как и в более простом случае, рассмотренном выше, оценки коэффициентов р будут несмещенными, если:

• 1) у = 0, что очевидно;
• 2) X^yZ = О, где О — нулевая матрица размера k х /, т. е. невключенные факторы ортогональны включенным.