Свойства дисперсии. 
Статистика

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е.

Пусть с — const и %i = с для всех i = 1,2, …, п, тогда, учитывая свойства средней арифметической и подставляя в (4.10) с вместо x_jt получим.

2. Если ко всем т, прибавить с, то дисперсия не изменится.

Пусть х_} +с, для всех i = 1, 2, …, п и с — const, тогда учитывая (4.10) и свойства средней арифметической, получим.

3. Если все х_{ умножить на С, где С — const, то дисперсия увеличится в С² раз.

Пусть с-Х-, для всех i = 1, 2, …, п, тогда S²_x = с² -S²_x;

4. Пусть y_i = сх. +6 для всех г — 1, 2, …, п и 6, с-const.

Тогда S² = ~Y_J{cx_i +b)-(cx + b)f =c²—^(x_i -х)².

п i=i П ,=1.

И окончательно S² = S²^_+b = с² -S².

Размах вариации равен разности между максимальным и минимальным значениями признака.

где х = х, , — максимальное, х. = дг_/1Ч — минимальное значение при;

знака. Размах вариации и среднее квадратическое отклонение связаны примерным соотношением

Коэффициент вариации является единственным безразмерным показателем вариации

Пример 4.13.

Сравните точность обработки диаметра корпусов двух видов. Для этого было отобрано по п = 10 корпусов каждого вида, у которых измерены диаметры корпу;

сов. Но результатам измерения получено: п_л = 10; х_х= 50 мм; 5, = 1 мм и п₂= 10; х₂ = 500 мм; 5₂ = 1 мм. Отсюда коэффициенты вариации для корпусов двух видов:

Таким образом, точность изготовления деталей второго вида значительно выше. Моменты распределения Моментом &-го порядка называют среднюю арифметическую k-й степени отклонения наблюдаемых значений x_t (i= 1, 2,п) от постоянной с, т. е.

).

При с = 0 имеем начальный момент k-го порядка Из (4.15) следует, что при k = 0 имеем Ь_к = 1;

k = 1 имеем в, = Ху т. е. средняя арифметическая есть начальный момент первого порядка;

k = 2 и начальный момент второго порядка = х² = — ^г² есть средняя.

П ,=1.

арифметическая квадрата значения признака.

Как правило, рассматривают моменты до четвертого порядка включительно, т. е. k = 1, 2, 3, 4.

При с= х имеем центральные моменты:

Из (4.16) следует, что центральный момент нулевого порядка (k = 0) равен единице, т. е. р₍₎ =1.

Центральный момент первого порядка (k = 1) равен нулю: р, = 0.

1 «_ I^й 1 _.

В самом деле, р. = —У.(х. -х) = -Ух —пх = 0.

п ,=1 ти=1__^ п

х

Центральный момент второго порядка k = 2 есть дисперсия:

Легко показать, что начальные и центральные моменты связаны соотношениями

Коэффициенты асимметрии характеризует степень скошенности распределения данных:

1 ^П

где |_ц =— Х (^х ~х)^Л ~ центральный момент третьего порядка. Из (4.18) п ,=1.

и рис. 4.15 следует, что при: Л_с>0 имеет место правосторонняя; при А_с< 0 — левосторонняя асимметрия; при Л. = 0 — симметричное распределение (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Гистограммы симметричного распределения (а) и распределений с правосторонней (б) и левосторонней (в) асимметрией Формулы для расчета показателей вариации моментов распределения приведены в табл. 4.13.

Пример 4.14.

На изготовление каждого из четырех электродвигателей затрачено соответственно 51, 49, 52 и 48 минут. Найдите:

• а) среднее арифметическое, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
• б) центральные моменты третьего и четвертого порядков;
• в) коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации.

Для расчета числовых характеристик признака, данные по которому не сгруппированы, проведем дополнительные расчеты и сведем их в таблицу.

Формулы для расчета показателей вариациям моментов распределения.

Числовая характеристика.	По несгруппироваиным данным. п — число наблюдений.		По сгруппированным данным — вариационному ряду (дискретному или непрерывному). Xj — значение признака (для дискретного ряда) или середина интервала (для непрерывного); mi — частота значения х;,. n = Yjт, — число наблюдений. i=i.
	формула.	функция Excel
Дисперсия.		ДИСПР (.г,).
Среднее квадратичное отклонение.		;
Начальные моменты /г-го порядка.		;
Центральные моменты к-то порядка.		;
Коэффициент асимметрии.		СКОС (.г,).
Коэффициент эксцесса.		ЭКСЦЕСС (д-).

СО СО.

Решение

Номер наблюдения i					Сумма значений в строке.	Среднее значение в строке.
Значение наблюдения ж,.
Отклонение от среднего X; ~ X		— 1.		— 2.
Квадрат отклонения от среднего (х1 — ж)2
Куб отклонения от среднего (ж, — ж)3		— 1.		— 8.
Четвертая степень отклонения от среднего (ж, — ж)4

• 1 ^П
• а) среднее арифметическое х = —Уж, = 50.

п ы Дисперсия S² = — У (ж. — ж)² = 2,5, среднее квадратическое отклонение 5 = л/2,5 = п ;=1.

= 1,581;

б) центральные моменты третьего и четвертого порядков.

в) воспользуемся результатами расчетов и. а) и б) для получения:

коэффициента асимметрии: А, = уу = —= 0 (распределение симметрично);

б (л/2,5)'.

|Л 8 5.

коэффициента эксцесса: E_k=-j- 3 = -^-у — 3 = -1,64;

S 12 5.

коэффициента вариации: V₅ = — = ^v ' = 0,0316.

.г 50.

Нормированные данные

В ряде задач удобно перейти от исходных наблюдений «г, где i = 1, 2,…, п, к нормированным х*, безразмерным величинам, удовлетворяющим условиям х* = 0 и Si, =1.

Пусть имеются данные х_и х₂, x_t, х", на основании которых получены:

Тогда нормированными называют данные вида:

Покажем, что средняя арифметическая нормированных данных равна нулю:

а дисперсия — единице:

При этом, если нормированная величина больше нуля (х* > 0), то наблюдаемое значение больше среднего (х. > х). Если же х* < 0, то х. < х.