Определение необходимого объема выборки

Предположим, что нашей задачей является получение оценки некоторой средней характеристики ГС, например а. В качестве оценки, как мы уже отмечали, берется х. Встает вопрос: какой объем выборки мы должны иметь, чтобы ошибка не превышала некоторое предельное значение Д с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, т. е. каким должно быть п, чтобы Р{х-а| <�Д} = 1-а?

Обычно Д называют предельной ошибкой выборки, а — вероятностью ошибки, а у = 1 — а — надежностью выборки.

Если ГС имеет произвольноераспределение, то согласно ЦПТ, учитывая состоятельность 5², СВ имеет асимптотически стандартное нормальное распределение, поэтому.

откуда . Задавая вероятность ошибки а, находят значение [/_а, соответствующее значению функции Отсюда.

Выбирая допустимое значение предельной ошибки Д, но формуле (8.8) вычисляем необходимый объем выборки.

Замечание 8.6. Если генеральная дисперсия а² неизвестна, то она заменяется оценкой S².

Если ГС имеет распределение N (a, а²), то по лемме о распределении Стыодента СВ представляет собой отношение Стъюдента с (п: — 1).

степенями свободы. Следовательно, откуда

Таким образом, находится по таблице распределения Стъюдента.

Замечание 8.7. Затруднительным моментом применения приведенных формул на практике является нахождение оценки S² генеральной дисперсии а², так как при ее расчете уже необходимо знать объем выборки п. Поэтому для нахождения оценки S² или пользуются материалами предыдущих исследований, или проводят пробное (пилотное) обследование, по результатам которого и получают данную оценку генеральной дисперсии.