Задачи, приводимые к простейшей Скалярный случай

Пусть задача оптимизации имеет форму.

с условием.

x (t), u (t) — скалярные функции, функции/₀ и v непрерывны и дифференцируемы по и, на управление нет ограничений.

Выясним, при каких условиях задача (5.36), (5.37) может быть приведена к виду (5.20), (5.25) и, как следствие, фазовая координата может быть переведена в разряд управлений.

Ограничим класс функций v такими, значение которых при любых допустимых фиксированных значениях х и t взаимно однозначно связано с и. Это для дифференцируемой по и функции означает, что.

Управление в этом случае может быть выражено через v, х, t как и (у, х, t). Задача приводима к простейшей, если.

Выразим М₀ и N₀ через/о, для чего запишем условия.

Здесь зависимость u_CT(x, t) (статическое управление) находится из условия.

Выражения (5.39)—(5.41) не только представляют собой условия приводимости, но и определяют N₀ и М₀, которые после подстановки в условия (5.29)—(5.33) позволяют найти оптимальное решение.

Заведомо приводимы задачи с неограниченным линейно входящим управлением при условии

Из условий (5.39)—(5.41) получим.

Подстановка этих выражений в условия (5.28) определяет х*(t), х их₀.

Пример 5.3. Рассмотрим задачу.

Здесь Q = Q (x, t) — заданная функция.

По условиям приводимости (5.39), (5.40).

и_ст(х, t)=0,.

Если задано V_x(t), множество допустимых значений х, то оптимальное решение х*(0 доставляет максимзчуг функции.

Последнее условие определяет величину с.

Граница множества V_x(t) может определяться и ограничениями на и, если они заданы. В этом случае решение приведенной задачи дает верхнюю оценку для решения исходной.

Отметим, что внутри множества V_x условия стационарности R по х приводят к уравнению Миеле^[1], полученному другим способом:

Оно является более слабым, чем (5.48), (5.49), условием оптимальности и может иметь не единственное решение.

Векторный случай. Пусть в задаче (5.20), (5.25) x (t) — векторфункция x (t) = (х_г(0, х₂(0), где x_x(t) — векторная, а х₂(0 — скалярная функции. Условия, наложенные на фазовые координаты:

Функция /j непрерывно дифференцируема по х_г, t и непрерывна по х₂, и; V_u и V_X2 замкнуты и ограниченны. Критерий оптимальности.

Аналогично простейшей задаче функционал (5.53) может быть приведен к эквивалентной форме.

где к и к₀ соответствуют выражениям (5.22).

Задача (5.54), (5.51) представляет собой стандартную задачу оптимального управления, с управляющими воздействиями n (t) и x₂(.t).

Задачи, приводимые к простейшей на части интервала управления.

Пусть интервал [О, Т] может быть разбит на три подынтервала [0,1г), [t1} t2], (t2, Т], а функционал I может быть представлен как.

при условии.

В этой задаче на подинтервале [t_l51₂] оптимальное решение определяется условиями (5.44) и не зависит от решения на остальной части интервала управления.

Интересен случай, когда отрезок [^, Г₂] стягивается в точку t = t_v. В этом случае слагаемое 1₀ в (5.55) равно.

Если r₀(x, t_v) = 0 Ух, то значения x (t_v_) и x (t_v+) находят по условию максимума функционалов и 1₂ со свободными правым и левым концами траектории соответственно.

• [1] Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.