Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной

Построенная доверительная область для МХ (У) (см. рис. 3.6) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений yl зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации — рассеяние вокруг линии регрессии, т. е. в оценку суммарной дисперсии sj следует включить величину s². В результате оценка дисперсии индивидуальных значений у$ при х = х$ равна.

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений будет определяться по формуле:

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели.

Наряду с интервальным оцениванием функции регрессии иногда представляет интерес построение доверительных интервалов для параметров регрессионной модели, в частности для параметров регрессионной модели, в частности для Pi и ст².

Можно показать, что при выполнении предпосылки 5 (с. 61).

6,-Р, регрессионного анализа статистика t=— имеет стандартно.

ный нормальный закон распределения, а если в выражении (3.32) для Ц заменить а² ее оценкой s², то статистика

имеет /-распределение Стьюдента с к = п — 2 степенями свободы. Поэтому (см. § 2.7) интервальная оценка параметра pi на уровне значимости, а имеет вид:

При построении доверительного интервала для параметра аисходят из того, что статистика —— имеет храспределение с а²

к = п — 2 степенями свободы. Поэтому интервальная оценка для а² на уровне значимости, а имеет вид (см. (2.43)):

(доверительный интервал выбирается таким образом, чтобы.

? Пример 3.3.

По данным табл. 3.1: 1) оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м;

• 2) найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт;
• 3) найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии pj и дисперсии а².

Решение. Уравнение регрессии Y по X было получено в примере 3.1: у = -2,75 + 1,016х, т. е. при увеличении мощности пласта X на 1 м добыча угля на одного рабочего Y увеличивается в среднем на 1,016 т (в уел. ед.).

1. Оценим условное математическое ожидание M_X-=$(Y). Выборочной оценкой A/_V=g (Y) является групповая средняя у_х=г, которую найдем по уравнению регрессии:

Для построения доверительного интервала для A/_x-=s (У) необходимо знать дисперсию его оценки, т. е. s}_x__%. Составим вспомогательную таблицу (табл. 3.2) с учетом того, что х =9,4 (м), а значения определяются по полученному уравнению регрессии.

Таблица 3.2.

8 39.

Теперь имеем по (3.26): s²=jq₂=1,049, по (3.32):

и = Vo, 189 = 0,435 (т).

По табл. II приложений /о, 95;8⁼2"31. Теперь по (3.34) искомый доверительный интервал или

Итак, средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 4,38 до 6,38 т.

2. Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения у"_о=8, найдем дисперсию его оценки по (3.35):

и s_y^_{t =Л}/П238 = 1,113 (т).

Далее искомый доверительный интервал получим по (3.36):

или

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,81 до 7,95 т.

3. Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра р]. По формуле (3.38).

или 0,537 < р, <1,495, т. е. с надежностью 0,95 при изменении мощности пласта X на 1 м суточная выработка Y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,537 до 1,495 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра а².

Учитывая, что а= 1—0,95=0,05, найдем по таблице 111 приложений

По формуле (3.39).

или 0,598 < а² <4,81, и 0,773 < а < 2,19.

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,598 до 4,81, а их стандартное отклонение — от 0,773 до 2,19 (т). ?