Отображение колебательных процессов на фазовой плоскости

Фазовой плоскостью называют декартову систему координат, у которой по оси абсцисс отложена обобщенная координата, а по оси ординат — обобщенная скорость или пропорциональная ей величина (рис. 5.14). Точку на фазовой плоскости называют изображающей точкой, а геометрическое место изображающих точек, отвечающих последовательным моментам времени, — фазовой траекторией. Поскольку при у> 0 координата х растет, а при у < 0 — убывает, изображающая точка при колебательном процессе перемещается по фазовой траектории по часовой стрелке.

Изображение колебательных процессов на фазовой плоскости обладает большой наглядностью, причем особенно в тех случаях, когда при t —" колебания асимптотически приближаются к определенному установившемуся режиму.

При гармонических колебаниях = ylsin cp,, где ф = cof + а, что в координатах х = q, y = q отвечает уравнению эллипса, заданному в параметрической форме (рис. 5.14, б). Очевидно, что любой установившийся колебательный процесс па фазовой плоскости отображается замкнутой фазовой траекторией. При нарастании амплитуды фазовая траектория имеет вид раскручивающейся спирали (рис. 5.14, в), а при затухающих колебаниях — скручивающейся спирали (рис. 5.14, г).

Рис. 5.14.

Совокупность фазовых траекторий, свойственных данной колебательной системе, называют фазовым портретом или фазовой картиной. Так, например, фазовым портретом свободных колебаний без учета сил сопротивления является семейство эллипсов, параметры которых определяются начальными условиями. Один из методов построения фазовых траекторий приведен в параграфе 8.2.