Блочные матрицы.
Произведение Кронекера
Пусть матрица, А разбита на блоки такие, что, А и А22 — квадратные матрицы. Если (р (х) = а’х, где, а = (вь 02,…, а,)' их = (х|, Х2,—, х")' — векторы-столбцы, то. Являются ли линейно зависимыми векторы а=(2; — 1;3), я2=(1;4; —1), а3=(0;-9;5)? Найти собственные значения и собственные векторы матрицы. Вычислить произведение и найти след матриц АВ и ВА, если: Определение (13.42) является частным… Читать ещё >
Блочные матрицы. Произведение Кронекера (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В ряде случаев исходную матрицу АтХп удобно разбить на блоки, например,.
Л2 ~.
где Ац — (/И1><�л)-матрица; А2 — (/wix/22) —MaTPML*a; (/и2хЯ1)-матрица, Л22— (/И2Х «2)-матрица.
В этом случае сама матрица А называется блочной.
Операции сложения и умножения блочных матриц проводятся по правилам соответствующих операций над матрицами, если заменить их элементы блоками:
Пусть матрица А разбита на блоки такие, что А и А22 — квадратные матрицы.
Тогда определитель матрицы А:
В частности, для блочно-диагональной матрицы А:
Матрица, обратная блочно-диагональной:
Произведением Кронекера двух матриц А,"х" и /?*х/ называется блочная матрица А® В размера km*In:
" ««'КгоМб?).
Найти А® В. Решение.
Свойства произведения Кронекера:
1. Если А и В — невырожденные матрицы, то.
- 2. Если А и В — квадратные матрицы соответственно т-го И /7-ГО порядков, ТО А® #| = |Л|Ш|#|".
- 3. {а®в)=а'®в
- 4. 1г (А ®в)= 1г (а) — tr (s).
Матричное дифференцирование
Производной скалярной функции ф (х) от векторного аргумента (вектора-столбца) х = (х, Х2,…, хп)' называется вектор (векторстрока)
Производной векторной (т х 1) функции /(х) от векторного (/?х1) аргумента х = (jq, Х2,…, хп)' называется тп-матрица:
(матрица Якоби, определитель которой — якобиан).
Определение (13.42) является частным случаем (13.43) при т = 1.
Частные случаи:
1. Если (р (х) = а’х, где а = (вь 02,…, а,)' их = (х|, Х2,—, х")' — векторы-столбцы, то.
2. Если ср (х) = х’Ах , где А — симметрическая квадратная матрица я-го порядка, то.
3. Если f{x)= Ах, где А — тп-матрица, то 
Упражнения
13.9. Вычислить матрицу D = (AB)'-С2, где.
13.10. Вычислить произведение и найти след матриц АВ и ВА, если:
13.11. Вычислить определители матриц:
13.13. Найти ранг матрицы:
13.14. Решить систему уравнений:
С, если.
13.15. Решить матричное уравнение АХВ
- 13.16. Являются ли линейно зависимыми векторы а=(2; — 1;3), я2=(1;4; —1), а3=(0;-9;5)?
- 13.17. Найти собственные значения и собственные векторы
13.18. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
где S= (1,1,…,!)'—лх 1-вектор.
Известно, что матрица А идемпотентная. Убедиться в том, что матрица В = Е —А также идемпотентная и ВА=0.