Однопродуктовая модель определения оптимальной величины заказа скоропортящегося товара

Для расчета показателей модели EOQ с учетом потерь скоропортящейся продукции запишем уравнение затрат за один цикл продолжительностью Т. Очевидно, данное уравнение должно включать затраты на организацию заказа С0, затраты на хранение с учетом убыли Сх и потери от убыли (потерь) Су, т. е.

Допустим, что затраты на организацию одного заказа не зависят от каких-либо факторов (объема заказа, особенностей учета транспортной составляющей и т. д.) и являются постоянной величиной С₀ = const.

Запишем дифференциальное уравнение расхода запаса при естественной убыли в виде.

где X — интенсивность расхода запаса; у — интенсивность убыли (потерь) скоропортящегося товара.

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами (13.4) можно решить с помощью специальной подстановки или путем разделения переменных. Воспользовавшись вторым методом, после ряда преобразований, получим:

или.

Затраты, связанные с убылью продукции, можно определить в виде разности между поставленными за цикл продуктами Q и фактическим потреблением XT, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

При подстановке выражений для С₀, С_х и С_у в (13.3) получим зависимость для общих затрат за цикл Для получения общих затрат в единицу времени результат формулы (13.8) делим на продолжительность цикла Т, т. е.

при этом Т рассчитывается по формуле.

Уравнение для текущего запаса с учетом естественной убыли, пропорциональной количеству запаса, запишется в виде:

Для расчета оптимальной величины заказа Qo необходимо воспользоваться численными методами. Порядок решения следующий: задаваясь различными значениями Q,-, рассчитываем величины Т по (13.10), затем С, — по (13.9).

Выбрав минимальное значение C_min, рассчитываем минимальные суммарные затраты за год C_?min и составляющие затрат, связанные с организацией заказа, хранением и убылью (потерями).

Если коэффициент у определяется на основании экспериментальных данных, то за время 7'₀ приходит в негодность а% от первоначального количества продукции, и выполняется соотношение:

откуда

или.

Допустим, что за 7'₀ = 10 дн. убыль (потери) скоропортящейся продукции составила а = 5%. При подстановке Т₀ и, а в (13.13) находим.

В табл. 13.2 приведены результаты расчетов коэффициента у.

Таблица 13.2

Величины коэффициента естественной убыли при различных исходных данных

? Разбор ситуации Рассмотрим ситуацию, в которой рассчитаем оптимальные показатели заказа продукции при учете естественной убыли. Исходные данные для расчета: годовая потребность в продукте А = 1460 ед.; количество дней расчетного периода Д_р = 365 дн.; затраты на оформление одного заказа С₀ = = 400 руб/заказ; цена единицы продукции С_п = 100 руб/ед.; коэффициент, учитывающий затраты на хранение в зависимости от цены единицы продукции,/ = 0,2; коэффициент убыли у = 0,005 (см. табл. 13.2).

На основе исходных данных определим вспомогательные параметры.

1. Интенсивность расхода продукта в день.

2. Затраты на хранение единицы продукции в день

Рассчитаем показатели оптимальной партии поставки без учета естественной убыли:

• оптимальная партия заказа (формула Харриса — Уилсона).

• количество заказов в год.

• периодичность заказов (длина цикла).

• минимальные суммарные затраты на оформление заказа и хранение в год.

Рассчитаем показатели партии поставки при учете естественной убыли. Примем в качестве начального условия величину партии Qo = 241 ед. Находим продолжительность цикла Т по (13.10):

Рассчитаем суммарные затраты в единицу времени.

Соответственно суммарные затраты в год.

Составляющие затрат (в год):

• организация поставок (затраты на заказы).

• хранение.

• потери в результате естественной убыли.

Таким образом, основные затраты определяются ущербом, который происходит в результате естественной убыли при организации поставок партиями, рассчитанными по формуле Уилсона для классической модели EOQ.

В табл. 13.3 и на рис. 13.3 приведены результаты расчетов при различных величинах партии заказа по исходным данным рассматриваемого примера.

Таблица 133

Определение оптимальной партии заказа продукта с учетом естественной убыли

Рис. 133. Зависимости затрат от величины партии заказа:

• 1 — суммарные затраты; 2 — потери от естественной убыли;
• 3 — затраты на хранение; 4 — затраты на организацию поставок

Анализ табл. 13.3 позволяет сделать следующие выводы.

• 1. Область минимальных общих затрат находится в диапазоне величин заказа от 75 до 125 ед. продукта; согласно выбранному шагу ДQ минимум общих затрат соответствует величине заказа Qo = 100 ед. При необходимости поиска более точного результата величину AQ следует уменьшить до AQ = 5 ед. или AQ =10 ед.
• 2. Допустим, что оптимальная партия заказа Q₀ = 100 ед. Тогда периодичность поставок составляет Г₀= 23—24 дн., количество заказов в год N = = 14−15.
• 3. Минимальные суммарные затраты составляют 16 171 руб. в год и распределяются между основными составляющими следующим образом:
  • • затраты, связанные с организацией заказов, С₃= 6200 руб. (около 39%);
  • • затраты, связанные с хранением продукта, С_х = 990 руб. (около 6%);
  • • убытки, связанные с убылью (потерями) скоропортящейся продукции, С_у = 8900 руб. (около 55%).
• 4. Сопоставление с основной моделью EOQ показывает, что учет убыли приводит к существенному увеличению минимальных суммарных затрат (в данной конкретной ситуации в 3,3 раза), а также затрат на транспортировку (в 2,6 раза) в связи с уменьшением величины партии заказа (примерно в 2,4 раза) и, соответственно, ростом числа заказов. В то же время наблюдается снижение затрат на хранение продукции (в данном примере почти в 2,4 раза). Следовательно, если не изменить величину заказа (периодичность и число заказов в год) для продуктов, подверженных убыли или порче, а осуществлять их поставки согласно модели EOQ (без учета потерь), то убытки составят 21 552 руб. в год. <

В качестве альтернативного подхода рассмотрим вариант учета убыли (потерь) скоропортящихся товаров при определении партии заказа в случае, когда зависимость текущего заказа представлена в виде.

После упрощения находим.

На рис. 13.4 приведены различные типы зависимостей текущего запаса Q (t) при следующих исходных данных: Qq = 240 ед., X = 4 ед/дн., у = 0,005.

Из рис. 13.4 видно, что зависимость (13.11) находится внутри границ, образованных линиями 1 и 3; линия 1 соответствует уравнению модели EOQ без убыли; линия 3 — уравнению (13.16), в котором ежедневный расход X суммируется с коэффициентом у убыли товаров.

Рассмотрим уравнение (13.16). Обозначив.

переходим к основной модели EOQ.

Определим продолжительность цикла: при условии Q (t) = 0 находим.

Рис. 13.4. Варианты расхода запаса:

1 — без учета убыли; 2 — с учетом убыли (потерь) по формуле (13.11); 3 — с учетом естественной убыли по формуле (13.16).

Определим составляющие затрат за цикл. Текущие затраты на хранение.

Потери, связанные с убылью продукции,.

С учетом затрат на организацию поставки С₀ при переходе к затратам в единицу времени получим.

При подстановке Г в (13.16) и А.' в (13.18) после преобразований находим.

Воспользуемся стандартной процедурой оптимизации, т. е. приравняем с1С

— = 0, тогда.

dQ

Отсюда оптимальная партия запаса.

Остальные показатели модели EOQ. • количество заказов в год.

• периодичность поставок.

• минимальные суммарные затраты в год.

Составляющие суммарных затрат будут следующими: • организация заказа.

• хранение.

• убытки, связанные с убылью товаров.

Результаты расчетов показателей оптимальной партии заказа для альтернативного учета убыли на основе исходных данных рассмотренной выше ситуации приведены в табл. 13.4.

Таблица 13.4

Сопоставление показателей моделей без учета и с учетом естественной убыли.

Сопоставление различных вариантов подтверждает, что, во-первых, учет порчи и убыли скоропортящейся продукции приводит к значительному росту суммарных затрат; во-вторых, альтернативный вариант учета убыли приводит, с одной стороны, к уменьшению размера партии заказа и росту затрат на организацию поставок, с другой — к увеличению издержек, связанных с естественной убылью.