Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ), рассмотренный в гл. 10, реализуется в целом ряде программ, включая тепловые расчеты, в которых используются тепловые константы материалов и сред. Поэтому специалист по тепловым режимам фактически должен только уметь правильно применять готовые программы. В связи с таким подходом при описании МКЭ^[1]

остановимся только на тех вопросах, без понимания которых затрудняется грамотная эксплуатация программного обеспечения. Сущность МКЭ рассмотрим на примере двумерной стационарной задачи и уравнения теплопроводности.

с граничными условиями 3-го рода.

Величины X, q_v, a, q_s могут быть заданы в виде произвольных функций координат х, у, в том числе и кусочно-непрерывных функций.

Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи. Для формулировки этой задачи применяют понятие функционала. Оператор /[Т] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции Т (х, у) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие численное значение /[Т]. Иными словами, функционал является как бы функцией от функции. В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят функции Т (х, у). Многие краевые задачи теплопроводности относятся к задачам отыскания функций, доставляющих минимум некоторым специально сконструированным функционалам. Задача отыскания функции, минимизирующей функционал, называется вариационной.

На основе перехода от краевых дифференциальных задач к вариационным задачам получили развитие многие приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности. Вариационная формулировка рассматриваемой краевой задачи (11.20), (11.21) приведена в работах [14, 25]. Задача решения уравнения (11.24) с граничными условиями (11.25) эквивалентна задаче определения функции Т (х, у), минимизирующей функционал 1[Т (х, у)] вида.

Наиболее широко распространенный прием получения приближенного решения вариационных задач таков. Приближение для искомой функции Т (х, у) разыскивается в виде.

где а_т — неизвестные постоянные коэффициенты, a f_m — известные функции пространственных координат. Если подставить Т (х, у) в функционал (11.22), то можно провести интегрирование по пространственным псрсмснным и получить величину /, зависящую уже не от неизвестной функции, а от неизвестных коэффициентов разложения а_{,…, а_т: /= I (a_v …, а_т).

Для определения приближенного решения вариационной задачи в виде (11.23) следует найти значения а_{}…, а_т, обеспечивающие минимум обычной функции нескольких переменных, которые определяются из решения системы уравнений Центральным местом в изложенном подходе к решению вариационной задачи является выбор координатных функций разложения f_m(x, г/), т = = 1,…, М. Метод конечных элементов основан на использовании описанной схемы приближенного решения при специфическом выборе вида координатных функций f_m(x, у).

Построение координатных функций проводится в МКЭ после разбиения области определения искомой непрерывной величины на N подобластей, называемых элементами, и фиксации в них М узловых точек, выбираемых обычно на границах элементов. Поясним методику построения координатных функций на примере простейшего способа разбиения двухмерной области треугольными элементами с узлами в вершинах треугольников (рис. 11.4). Температурное поле ttⁿx, у) в каждом n-м элементе аппроксимируется зависимостью вида.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 11.4. Разбиение двухмерной области на треугольные элементы

где tj, tj, t_k — искомые значения температуры в соответствующих узлах элемента; ф^, ф^^,;) — функции, которые удовлетворяют следующим условиям:

Эти функции называются функциями формы п-го элемента. Каждая из них равна единице в одном из узлов и нулю во всех остальных. Очевидно, что в данном случае в качестве функций формы можно взять линейные функции координат = a^ri) + bjX + с^у, где коэффициенты^, с}" Ь^п) _yI=iy jy kyнаходятся из условий вида (11.26).

В общем случае могут использоваться более сложные элементы, с большим числом узлов. Тогда для каждого элемента используется аналогичная формуле (11.25) аппроксимация, для которой вводится столько функций формы в виде полиномов, сколько в нем содержится узлов. Каждая из функций формы равна единице в одной своей узловой точке и нулю во всех остальных узлах. В этом случае при использовании разложений, подобных (11.25), в каждой точке области D «работают» только функции формы того элемента, в который попадает точка, а на общей границе двух элементов значение t (x, у) можно рассчитывать по любой из двух совокупностей функций формы. Таким образом, при описанном подходе в качестве неизвестных коэффициентов в разложении (11.23) выступают искомые температуры в узловых точках. Значение функционала / можно представить в виде суммы

где /<^и) вычисляется путем интегрирования по я-му элементу разбиения с использованием разложения, подобного (11.23). В результате интегрирования /оказывается зависящим только от неизвестных температур в узлах элементов: 1= I (t_{,…, t_M), а уравнения (11.24), вытекающие из условия минимума /, принимают вид.

Именно эти уравнения и являются алгебраическими уравнениями разностной схемы МКЭ относительно искомых температур в узлах. Остановимся на особенностях основных этапов реализации МКЭ.

• [1] ДулъневГ. Н. Теплои массообмен в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Высшая школа, 1984. С. 156.