Метод неопределенных множителей Лагранжа

Строгое обоснование метода неопределенных множителей Лагранжа можно найти в учебнике математического анализа [1]. Метод неопределенных множителей применяется для определения координат экстремума функции при наличии ограничений (условного экстремума). Идея метода может быть изложена следующим образом.

Пусть задана функция п переменных F (x_vx₂,—, x_n), для которой нужно найти координаты минимума при условиях.

Задача решается следующим образом. Записывается функция Лагранжа.

где А, — — неопределенные множители Лагранжа.

Для определения координат условного экстремума запишем систему уравнений вида.

полученная система уравнений содержит т + п уравнений относительно того же числа неизвестных х₁,…, х_п, Х₁,…, Х_т. В общем случае указанная система уравнений является нелинейной и решается итерационно.

Пример 17.4.

Найти минимум функции.

при условии ф|(л‘, у) = х + у = 6. Запишем функцию Лагранжа

из которой получим систему уравнений.

Из двух первых уравнений следует, что х = у, а из последнего — х = у = 3.

Приведем еще пример.

Пример 17.5.

Найти максимум функции.

при условии <�р,(х,у) = у-х = 0 (рис. 17.3).

Рис. 17.3. К примеру определения координат условного экстремума Функция Лагранжа в этом случае имеет вид.

а система уравнений для определения координат максимума.

Из последнего соотношения следует, что х = у. Складывая два первых уравнения, получаем х + у = 9, таким образом, при данных условиях функция достигает максимума в точке с координатами х = 4,5; у = 4,5.

Следует подчеркнуть, что в приведенных примерах мы определяли координаты стационарной точки. Вопрос о том, соответствует ли эта точка максимальному или минимальному значению функции, должен решаться отдельно, например, путем анализа знака второй производной функции в точке экстремума.