Логарифмические уравнения. 
Уравнения с параметрами

В первую очередь при решении логарифмических уравнений с параметром следует записать ОДЗ. После нескольких преобразований, как правило, уравнение сведется к более простому. Для успешного преобразования необходимо научиться умело и грамотно использовать свойства логарифмов и методы замены переменной.

Пример № 12.Тип IV. Найдите все значения x> 3, при каждом из которых наибольшее из двух чисел уравнение параметр квадратный.

a = + 5- 1 и b = 23 — 2.

не меньше 7.

Решение. Так как x> 3, то > 1.

Далее в решении учитываем условие > 1.

a + 5- 1 = + 5 — 8.

+ - 8.

b 23 — 2 2.

Наибольшее из чисел a и b не меньше 7 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них не меньше 7, то есть когда.

Учитывая условия x> 3, получаем.

Ответ: 3.

Пример № 13.ТипI.Для всех значений a решите уравнение loga x2 + 2loga (x + 2) = 1. [4].

Решение. Чтобы данное уравнение имело смысл, запишем ОДЗ, то есть, должно выполняться a > 0, a 1, x > ?2, x 0,.

x? (?2;0)?(0;+?).

Преобразовываем уравнение до вида x2(x + 2)2 = a, т. е. |x|(x + 2) = .

• а) Если ?2
• ?x (x + 2) = .

Далееx2 + 2x += 0, отсюда получаем корни: x1,2 = ?1± .

Выражение под радикалом 1?> 0, значит при 0

б) Если x > 0, то уравнение принимает вид x (x + 2) =, т. е. x2 + 2x?= 0. Отсюда x3,4 = ?1±.

Корень x4 = ?1 — не принадлежит интервалу (0;+?).

Корень x3 = ?1 +? (0;+?) при условии, что a > 0.

Ответ: при a0 решений нет; при 0 < a <1×1,2 = ?1±; x3 = ?1 +; при a> 1 x = ?1 +.