Виды планов экспериментов

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех к факторов на двух уровнях, т. е. 4=2. Такие планы называются планами типа 2, где N=2* — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем х_1шу— симметрично расположенных относительно основного уровня Хю, /= 1, к. Геометрическая интерпретация показана на рис. 6.2, а. Так как каждый фактор принимает лишь два значения Х1_П = Хю—Ах1 и х_1ш=Хм+Ахь то для стандартизации и упрощения записи условий каждого испытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответствовал — 1, верхний — 4−1, а основной — нулю. Это легко достигается с помощью преобразования вида.

где х_{ — кодированное значение /-го фактора; х, — натуральное значение фактора; х₁₀ — нулевой уровень; Ах,=(;с_1в—х_<�и)/2 — интервал варьирования фактора.

Пример 6.2. Пусть в качестве /-го фактора выступает такая переменная, как температура Т_у °С, т. е. Х| —Г, причем выбраны основной уровень х*о^в100 °C и интервал варьирования Ах, >=20 °С. Тогда кодированные значения х, по уровням соответственно будут (80 — 100)/20 = — 1 для нижнего, (120 — 100)/20 = +1 для верхнего, (100- 100)/20 = 0 для основного.

Расположение точек для ПФЭ типа 2² показано на рис. 6.1, а также на рис. 6.2, 6. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план О полного факторного эксперимента типа 2²:

Рис. 6.2. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа 2: а — без масштабирования; 6 — при масштабировании по осям.

Рис. 6.3. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа 2.

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: х₁-+а, х₂->Ь и т. д.

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Пример 63. Геометрическая интерпретация ПФЭ 2³ приведена на рис. 6.3, а его план ниже:

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодействия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена Ь₀ и определения эффектов взаимодействия Ь₁₂> 6₁₃,…, Ь_12Ъ,… план эксперимента Б расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фиктивной переменной»: единичного столбца х₀ и столбцов произведений х_хх₂, х_хх_ЪУ…, х_хх_гх_г,…, как показано, например, для ПФЭ типа 2³ в табл. 6.1.

Таблица 6.1.

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов 2² и 2³, количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного факторного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторный эксперимент типа 2². Используя матрицу планирования, приведенную в табл. 6.2, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения.

Таблица 6.2.

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: 6₀, Ь₁ и Ь₂. Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении 6₁₂->0 и вектор-столбец х_хх₂ (табл. 6.2) можно использовать для нового фактора х₃. Поставим в табл. 6.2 этот фактор в скобках над взаимодействием В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ типа 2, уже не будет и оценки смещаются следующим образом:

При постулировании линейной модели все парные взаимодействия нс учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в полном факторном эксперименте типа 2³ необходимо провести только четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежащего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 2³, так называемой «полурепликой». Если приравнять х_ъ и — х₁х₂, то можно получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых ^ линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением 2 ~. Например, «полуреплика» от 2^б записывается в виде 2⁶⁻¹, а «четвертьреплика» — 2⁶⁻².

Пример 6.4. При построении «полуреплики» 2³" ¹ х₃ можно приравнять к х_хх₂ или —Л²- Две «полуреплики» 2³«¹ показаны в табл. 6.3. Для произведения трех столбцов левой матрицы выполняется соотношение +1 а правой матрицы т. е. все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны +1, а во втором — 1.

Кроме симметричных двухуровневых планов типа 2* при планировании экспериментов применяют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, …, т-м уровнях и обозначаются соответственно, как 3,4, т -планы. Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы варьируются на различных уровнях, строятся различными способами: комбинированием полных и дробных факторных планов типа 2*, методом преобразования симметричных планов в несимметричные и т. д. Рассмотренные планы носят название планов регрессионного анализа для многофакторного эксперимента [10, 22].

Таблица 6.3.

Когда модель планирования анализируется методами дисперсионного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокупности условий, то говорят о полных классификациях дисперсионного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких планов используют блочные планы и планы типа латинского квадрата [10, 18, 21].

Перейдем далее к рассмотрению вопросов, связанных непосредственно с планированием экспериментов с машинной моделью М_и конкретной системы 5.