Понятие функции комплексного переменного

Предел и непрерывность Пусть D — некоторое множество комплексных чисел. Однозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому каждому комплексному числу г из множества D соответствует единственное комплексное число ги.

Такое соответствие обозначается w — /(2), или /: z —> w. Множество D называется множеством (областью) определения функции /. Например, функция w = z² ставит в соответствие каждому комплексному числу z = х + iy комплексное число w = z² = (х. 4- iy)~ = = х² — у² + 2ixy; эта функция определена на всей плоскости комплексного переменного 2, а если положить /(ос) = ос. то она будет определена и на всей расширенной комплексной плоскости.

Если обозначить z =? хV iy, w = и 4- iv, то задание функции w = = f (z) комплексного переменного равносильно заданию на том же множестве двух функций действительных переменных х, у, принимающих действительные значения: и = и (х, у), v = v (x, y). Например, для функции w = z² имеем и = х? — у², v = 2ху.

Наряду с плоскостью переменного г = х 4- iy, рассмотрим также плоскость комплексного переменного w = и 4- iv. Функция w = f (z) каждой точке z = х 4- iy множества D с координатами (х, у) ставит в соответствие вполне определенную точку w = и 4- iv с координатами (u, v); когда точка г пробегает множество D на плоскости переменного 2, соответствующая точка w пробегает на плоскости переменного w другое множество Е. Таким образом, однозначная функция w = f (z) отображает множество D на множество Е, т. е. каждой точке z 6 I) ставит в соответствие точку w € Е. Точка w называется образом точки 2, а точка 2 — прообразом точки w при отображении w = f (z). Точка w может иметь несколько (и даже бесконечно много) прообразов. Например, при отображении w = zⁿ каждая точка w ф 0 имеет ровно п прообразов — корней тг-й степени из w.

Отсюда следует, что поведение функции комплексного переменного нельзя проиллюстрировать с помощью графика в декартовой системе координат, плоской или трехмерной. Чтобы представить себе геометрические свойства функции w = f (z), нужно исследовать, на какие множества отображаются те или иные области и кривые.

Пример 5.1. Найти, на какую область отображается четверть круга радиуса Я с помощью функции w = г².

Решение. Запишем переменные z и w в показательной форме: z = re^$v>, w = ре'^$. Так как w = z², то ре^ъ0 = (ге^{г (р})² = r²e^t2

^{, откуда следует, что Выясним, в какую кривую переходит граница области D при отображении w — z2. Предположим, что эта граница обходится начиная от точки z — 0 в положительном направлении (т.е. так, что при обходе область D остается слева — рис. 12, а). Из формул (5.1) следует, что отрезок действительной оси 0 ^ г ^ Я, р = 0, перейдет}

Рис. 12.

в отрезок 0 ^ р ^ Я², 0 = 0, действительной оси плоскости переменного w четверть окружности г = Я, 0 ^ р ^ тг/2, перейдет в полуокружность р = Я², 0 ^ в ^ 7 г (рис. 12, б) и, наконец, отрезок мнимой оси 0 ^ г ^ Я, р = п/2, перейдет в отрезок 0 ^ р ^ Я², в = тг, т. е. в отрезок [—Я, 0] действительной оси. Каждая внутренняя точка z четверти круга D перейдет во внутреннюю точку полукруга Е на плоскости ат, и при этом весь полукруг Е будет заполнен образами точек z полностью, без всяких «дырок».

П р и м е р 5.2. Найти, на какую область отображается круг z < < Я функцией w = -.

Решение. Как и в предыдущем примере, обозначим z = re^v,.

w = ре¹⁰. Тогда w = - = - е ^{, v}*. Поэтому.

гг

Возьмем окружность z = г, г ^ R (рис. 13, а). Она перейдет в окружность w = - ^ — (рис. 13, б). Поэтому круг z < R отобра;

Рис. 13.

жается на внешность круга радиуса —, т. е. на множество |w| > —.

При этом, если обходить окружность z = г против часовой стрелки, то в силу равенства в = —ip направление обхода соответствующей окружности w = - будет противоположным, г Другие элементарные функции комплексного переменного будут рассмотрены в гл. IV.

Введем важное понятие предела функции w = f (z) в точке. Пусть задана точка го € С и положительное число 6. Проколотой 6-окрестностью точки zq называется^{-окрестность} этой точки, за исключением самой точки zо (т.е. внутренность круга радиуса 6 с центром zq, из которого удален центр zo). Это множество можно записать в виде неравенств: 0 < z — г₀| <6.

Пусть функция w = f (z) определена в некоторой проколотой окрестности точки zq. Число А называется пределом функции w = = }(z) в точке zo, если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0 (зависящее от е), что для всех точек проколотой^{-окрестности} точки zo выполняется неравенство f (z) — А < е.

Наличие у функции f (z) предела А в точке Zq записывается в виде lim f (z) = А и означает следующее: для любой (сколь угодно.

z-*z о малой) окрестности U& точки А найдется такая проколотая окрсст;

ность точки zo, что для всех точек z из этой проколотой окрестности соответствующее значение ш = f (z) лежит в Ua — В такой форме определение предела охватывает и случаи z = оо и (или) А = оо; иод проколотой окрестностью точки z — оо понимается множество z > /?.

Данное определение предела аналогично определению предела для функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т. д., сохраняют силу и для функций комплексного переменного. Если z = х + iy и f (z) = и (х, у) + iv (x, ?/), то равенство.

эквивалентно двум равенствам

в которых фигурируют пределы действительных функций и (х, у), v (x. у) двух действительных переменных х и у.

Рис. 14.

Дадим теперь определение предела функции в граничной точке области D (рис. 14). Если функция f (z) определена лишь в области D, то для граничной точки z не существует проколотой окрестности, в которой заданы значения f (z); в этом состоит отличие от предыдущего случая.

Число А называется пределом функции w = f (z) в граничной точке z 1, если для любого е > 0 найдегся такое 6 > 0, что для всех точек проколотой^{-окрестности} точки z 1, принадлежащих области D, выполняется неравенство f (z) — А < е.

На рис. 11 указанные точки из D отмечены штриховкой.

Перейдем к определению непрерывности функции комплексного переменного.

Функция w = /(г), определенная в окрестности (не проколотой!) точки 2q, называется непрерывной в точке го, если.

Непрерывность функции W = f (z) = и (х, у) + iv (x, y) в точке го = = хо + iyo эквивалентна непрерывности двух действительных функций и (х, у) и v (x, y) переменных хиув точке (аго, Уо);

Функция w = /(г), определенная в области D. называется непрерывной в этой области, если f (z) непрерывна в каждой точке области D. Функция w = f (z) называется непрерывной в замкнутой области D, если она определена в D и для каждой точки zq € D

(включая граничные точки) выполнено равенство.

Зафиксируем точку zq и возьмем другую точку z? D. Тем самым аргумент изменится на величину Az = z — zq — Ах + г Ay, называемую приращением аргумента. Соответствующее изменение функции.

называется приращением функции.

Упражнение. Покажите, что данное выше определение непрерывности функции в точке равносильно следующему: функция.

w = f (z) называется непрерывной в точке zo< если lim Aw = 0.

Дг-«0.