Шар в равномерном поле

Если в равномерное поле (направлено сверху вниз вдоль осиг), напряженность которого равна Е₀ (рис. 19.22), внести металлический или диэлектрический шар (?_а шара отлична от е_а окружающей среды), то электрическое поле, особенно вблизи шара, исказится, перестанет быть равномерным. Характер искажения поля зависит от размеров шара, его г_г и значения заряда на шаре.

Если шар металлический (проводящий), то силовые линии должны подходить к его поверхности под прямым углом. Если металлический шар не заряжен, то на нем вследствие явления электростатической индукции произойдет разделение зарядов. Силовые линии будут заканчиваться или начинаться на них.

Металлический шар может быть и заряжен, т. е. нести на себе избыточный заряд, который также расположится на поверхности.

Если шар из диэлектрика, то под влиянием внешнего по отношению к нему поля шар поляризуется. Заряды, выявившиеся на шаре вследствие поляризации, исказят прежде (до внесения шара) равномерное поле. Силовые линии подходят к поверхности шара так, что выполняются два граничных условия (см. § 19.23).

Если шар металлический, то внутри шара Е = 0 и <�р = const. Независимо от того, металлический шар или диэлектрический, во внешней по отношению к шару области нет свободных зарядов и потому поле в этой области описывается уравнением Лапласа. Если шар из диэлектрика и свободный заряд на нем равен нулю, то поле внутри шара описывается также уравнением Лапласа.

Таким образом, для решения той и другой задачи необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа V²cp = 0. Это одна из наиболее типичных классических задач электростатики. Для любой конкретной задачи в качестве первого этапа необходимо правильно выбрать систему координат. Систему координат выбирают таким образом, чтобы граничные поверхности в поле описывались наиболее удобно. В данной задаче граничная поверхность — сфера, которую проще всего описать в сферической системе координат. Поэтому будем пользоваться этой системой.

Вторым этапом решения является выяснение вопроса о том, не обладает ли изучаемое поле тем или иным видом симметрии. Условия симметрии поля часто в значительной мере облегчают решение задачи. В рассматриваемой задаче поле не зависит от координаты а. Чтобы убедиться в этом, мысленно рассечем поле плоскостью, перпендикулярной оси г декартовой системы, и проведем в этой плоскости окружность так, чтобы центр ее лежал на оси г. Все точки этой окружности имеют одно и то же значение радиуса /?, соединяющего точку на этой окружности с началом координат. Кроме того, угол 0 в меридианной плоскости между радиусом R и осью z один и тот же.

Все точки окружности находятся в поле в одинаковых условиях. Поэтому потенциал их один и тот же. Но значение угла а, характеризующего положения точек этой окружности, различно. Если для совокупности точек, обладающих R = const и 0 = const и разными значениями угла а, <�р одно и то же, то это означает, что в данном поле ф не зависит от угла а. Поэтому поле будет описываться уравнением [см. уравнение.

(19.31)]:

• 1 d^ (D
• (составляющая — ——у отс>тствует, так как не зависит от а). Вы-

R sin 0 до

ражение (19.54) представляет собой уравнение в частных производных. Для интегрирования уравнений в частных производных применяют метод Фурье, согласно которому искомую функцию (в данном случае ф) представляют в виде произведения двух пока неизвестных функций М и N, одна из которых (М) зависит только от /?, а другая (7V) — только от 0:

Вид функций М и yV подлежит определению. Представление функции Ф как произведения двух функций (19.55) позволяет разбить уравнение в частных производных (19.54) на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых одно будет составлено относительно М, другое — относительно /V.

Поэтому.

Умножим (19.56) на R²/(MN).

Особенностью уравнения (19.57) является то, что первое слагаемое в нем представляет собой функцию только Л, а второе — функцию 9. Сумма двух функций, из которых одна зависит только от R, а другая — от 9, равна нулю для бесчисленного множества пар значений Л и 9 [уравнение (19.57) годится для всех точек поля]. Это возможно либо когда каждая из данных функций равна нулю:

либо когда.

Здесь р есть некоторое число, пока неизвестное.

Таким образом, задача свелась к интегрированию уравнений (19.57а) и (19.576). Общее решение для ф согласно (19.55) равно произведению решений уравнений (19.57а) плюс произведение решений для М и N по уравнениям (19.576). Найдем решение уравнений (19.57а). Так как в (19.57а) М зависит только от Л, а У — только от 9, то от частных производных перейдем к простым (обыкновенным):

Интеграл первого из них:

Найдем интеграл второго уравнения:

Покажем, что А_} непременно должно равняться нулю, так как только в этом случае в решении отсутствует слагаемое А_} lntg (0/2).

Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он не может измениться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси г вблизи шара не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы А_} *0, то в решении для потенциала присутствовало бы слагаемое А_} Intg (9/2), равное -" для всех точек, у которых 9 = 0 (при 9 = 0 tg9 = 0; при 9 = 0 lntg9 = -oo).

Таким образом, частное решение для ср. вытекающее из (19.57а), следующее:

Найдем решение уравнений (19.576):

Применив подстановку Эйлера M=CR" , получим.

Подставим производные в уравнение (19.60а) Найдем корни квадратного уравнения:

Значение р определим при интегрировании второго уравнения (19.576):

Решение его можно записать в виде N = В cos9. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение р:

Следовательно, р = 2.

После нахождения числа р подставим его в (19.61) и найдем л, = 1 и п_г =-2. Таким образом, совместное решение уравнений (19.576) дает следующее выражение: ф = (С₃ R + C₄ /R²)cos9.

Полное решение:

В (19.62) присутствуют четыре неизвестные постоянные: С, С₂, С₃ и С₄. Значения постоянных зависят оттого, какой шар (проводящий или диэлектрический) внесен в поле^Ф).