Вывод в нечеткой логике

Рассмотрим правила вывода в классической математической логике. Логический вывод часто задается в виде схемы: над горизонтальной чертой записываются все суждения, на основании которых принимается решение, а под чертой — результат вывода. Если истинны вес суждения над чертой, то истинно суждение под чертой (из истинных суждений может выводиться только истинный результат).

В математической логике применяются два основных правила вывода:

• — modusponens (лат. утверждающий модус, читается «модус поненс»);
• — modustollens (лат. отрицающий модус, читается «модус толленс»).

Схемы вывода по правилу modusponens имеет вид:

Здесь А и В — некоторые суждения.

В нечетком выводе суждения в правилах modusponens и modustollens характеризуются некоторыми нечеткими множествами. Таким образом получим обобщенные правила вывода в нечеткой логике. Обобщенное нечеткое правило modusponens определяется схемой вывода.

где Л, А'сХ и й, й' с Y — нечеткие множества;* и у -лингвистические переменные.

Рассмотрим пример [18]. Пусть имеется схема нечеткого вывода:

В качестве лингвистических переменных выступают: х — «скорость автомобиля», у — «уровень шума». Терм-множеством лингвистической переменной х является множество

Терм-множеством лингвистической переменной у является множество.

Каждому элементу терм-множеств Г, и Т₂ можно поставить в соответствие нечеткое множество, имеющее некоторую функцию принадлежности. В примере можно выделить нечеткие множества А — «большая скорость автомобиля» и В — «высокий уровень шума». С помощью модификатора концентрирования (раздел 1.5) можно построить функцию принадлежности множества А — «очень большая скорость автомобиля». С помощью модификатора растяжения можно построить множество В' — «не очень высокий уровень шума».

Нечеткий вывод отличается от четкого вывода. В четком выводе суждение А из импликации четкого правила присутствует в условии этого правила. В нечетком выводе суждение А! в общем случае лишь приблизительно равно суждению А из нечеткой импликации. В результате заключение нечеткого вывода В' отличается от заключения В нечеткой импликации.

Рассмотрим формирование функции принадлежности заключения В' нечеткого вывода. Нечеткая импликация Л —" В является нечетким отношением. Так как ^,/сХ и В, В'то нечеткая импликация А —> В представляет собой отношение с областью определения XxY и функцией принадлежности ju_A_>_B(x, у). Функцию принадлежности нечеткой импликации можно вычислить (раздел 2.1).

Заключение

В' представляет собой композицию (комбинацию) нечеткого множества А! и нечеткого отношения — импликации А-^В (разд. 1.6), то есть В' = А (8)(А -" В), функция принадлежности которого может быть вычислена, например, по. В этом случае мы имеем дело с композиционным правилом нечеткого вывода Заде [23, 24].

Обобщенное нечеткое правило modustollens определяется схемой вывода.

где А, А с: X и В, В' cz Y — нечеткие множества; х и у — лингвистические переменные.

В продолжение примера рассмотрим схему нечеткого вывода:

Легко увидеть, что нечеткое заключение А! определяется композицией нечеткого отношения и нечеткого множества.

Л' = (Л^>В)®В'.