Начала логики Введение

Логика — это наука, изучающая законы и формы человеческого мышления. «Как надо рассуждать, чтобы получить правильные выводы?» — вот главный вопрос, на который ищет ответ логика. Основоположником логики считается древнегреческий философ Аристотель (384−322 гг. до н. э.). В его труде «Органон» содержатся такие разделы, как понятие, суждение, умозаключение, определение, доказательство и др. Аристотель развил учение о силлогизме — исторически первую теорию дедукции. Он впервые сформулировал основной принцип логики: правильность рассуждения должна зависеть только от его формы, то есть способа связи входящих в это рассуждение частей (посылок и заключения), но не от содержания этих частей. Содержание влияет лишь на истинность или ложность предложений, из которых конструируется рассуждение.

Математическая логика отличается от «обычной» тем, что она широко использует язык математических и логических знаков, исходя из того, что они могут полностью заменить слова обычного языка (например, русского) и принятые способы объединения слов в предложения. Еще в Средние века возникла идея о том, что, записав все исходные данные на языке специальных знаков, можно будет заменить рассуждение вычислением, которое могла бы осуществить машина (в нашем понимании — ЭВМ, компьютер). Тогда у нас будет возможность автоматически получать интересующие следствия из введенных в машину исходных данных. Наиболее близкий к реальному осуществлению замысел универсального символического языка развивал немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц (1646−1716).

Без каких-либо особых изменений логика Аристотеля просуществовала до середины XIX столетия. Начиная с XIX в. идет активное развитие математической логики. Большой вклад в построение языка математической логики внесли ирландский ученый Джордж Буль (1815−1864) и немецкий ученый Готлоб Фреге (1848−1925). Логика постепенно становится средством анализа математики с точки зрения сгрогости и доказательности. С другой стороны, для развития логики начинают применяться математические методы.

Изложение больших разделов математики на языке математической логики было предпринято в работах Джузеппе Пеано (1858−1932), а также в фундаментальной трехтомной монографии Бертрана Рассела (1872−1970) и Альфреда Уайтхеда (1861−1947), изданной в 1910;1913 гг. В 20-х гг. XX в. с программой обоснования математики на базе математической логики выступил немецкий математик Давид Гильберт (1862−1943). С этого времени начинается современный этап развития математической логики. С тех пор математическая логика является инструментом, позволяющим строить и изучать математические теории.

В настоящее время у математической логики можно выделить содержательную сторону и формальную. Содержательная теория оперирует предложениями, за которыми стоит логический смысл истины или лжи (семантика). Формальная теория отвлекается от истинностных значений и оперирует со строчками символов по строго определенным правилам (синтаксис). Современная математическая логика во многом позволяет осуществить идею Лейбница о создании универсального формализованного языка, однако полная реализация этой идеи невозможна, что следует из теоремы о неполноте немецкого математика и логика Курта Гсдсля (1906— 1978).

В данной главе излагаются основы содержательной элементарной логики, которые необходимы для изучения любой математической дисциплины. Например, для того чтобы доказывать теоремы, нужно уметь математически грамотно строить предложения, формулировать предложение разными способами, не изменяя его логического смысла, строить отрицание к предложению, правильно выводить логические следствия и т. п. В этой главе будут рассмотрены общие правила формулировки теорем, способы и методы доказательств, варианты символической записи предложений.