Разностные схемы с положительной аппроксимацией для многомерных систем уравнений гиперболического типа

1. Обобщение рассмотренных в разд. 1−3 разностных схем на случай многомерных систем уравнений (1.2.2) или их дивергентной формы (1.23) может быть проведено различными способами. В частном случае попарно коммутирующих матриц Aj, т. е. если AjA_k = A_kAj> как известно из линейной алгебры, существует единое преобразование, приводящее матрицы Aj к диагональной форме, т. е. все Aj = { J_tl J ⁼ = П~^!Л/П, А/ = П =| 2>_#J, i = 1/ - 1, 2,…" и в случае я⁷,/ = const система (1.2.2) заменой v = Пи приводится к совокупности не связанных между собой многомерных уравнений переноса (3.1). Используя результаты разд. 3 и характеристические свойства уравнений гиперболического типа, можно естественным образом обобщать разностные схемы, построенные для многомерного уравнения переноса на случай таких специальных систем уравнений.

В общем случае квазилинейных систем с некоммутирующими матрицами Aj аналогичные обобщения также возможны, однако здесь они носят более формальный характер и требуют проверки в вычислительном эксперименте.

Рассмотрим некоторые примеры такого подхода для сеточного шаблона, изображенного на рис. 4.18. Если заменить в соотношениях (3.23) скалярные величины и" *¹, uj на вектор-функции uj*⁺¹, uj (к — 1,. .. , 9); выражения о_у (uj + u")/2 — на т [(F^)J + (F^,)J]/2hf (/ = 1, fc, / = 1, 2, 6; i = 2_У к, l = 1,3, 5); скалярные коэффициенты р_ц Qx = 1,. .. , 6) — на следующие матричные: 0,5 (2?J, + Д?_в) в (3.236), 0,5 (?j_a + ВЦ_г) в (3.23в), 0,5 (^2, + в (3.23г), 0,5 (BJ, + В^) в (3.23д), а также заменяя все прежние зависимости ((3.24) и последующие) типа р_и = ⁼ Рц (°i > ^г) ^на Рц ⁼ Вц (Si > S2), Sj = Qj¹ CjSl_h Cj -1 o{l, о^-тУ^1,2, получим шестипараметрическое семейство консервативйых разностных схем первого порядка точности. А при выполнении условий.

в (3.23г), (3.23д) получим трехпараметрическое семейство также консервативных схем второго порядка аппроксимации на решениях (3.32), (3.33), в том числе аналоги схем (3.25)-(3.28), (3.31) (при (u), / = 1, 2.

и <�р = 0). В случае попарно коммутирующих матоиц А_ХА₂ = A₂A_lf = = ?l₂ = SI в (1.22), (3.3.1) полученные таким образом разностные схемы обладают всеми свойствами (монотонности, оптимальности и т. д.), что и их скалярные аналоги. При А_ХА₂ Ф А₂А_х возникает некоторый произвол при записи выражений, в скалярном случае содержащих произведения типа о_хо₂. В этом случае целесообразно их заменять на 0,5 (Л]¹ С_хHiП2¹С₂Г2з + Sr₂C₂Q.₂STiCx ?2j). Здесь и выше C_XiC₂ — диагональные матрицы с элементами а}, о]. Если ?^J = F⁷ (t, х_х, x_2i u),.

⁼ х₂, и), то при выполнении условий (1) добавлением в правую часть (3.23) разностной аппроксимации выражения г [<�р + 0,5 г (Э^/Эг + + ip_u~ip) ] х и заменой R = 1 на R ~Е + (т/2) (_u) J (В — единичная матрица) можно добиться строго второго порядка аппроксимации и в общем случае. Этот же результат можно получить, используя некоторый двухшаговый вариант схемы (3.23).

2. Из общих подходов обобщения одномерных разностных схем на многомерный случай, по-видимому, наиболее универсальным и эффективным является использование различных вариантов метода расщепления по пространственным координатам, хотя о некоторых свойствах получающихся таким образом схем (в частности, для одномерных уравнений вытекающих из их анализа в пространстве коэффициентов) в этом случае можно судить лишь по результатам их практического использования или из анализа для случая одного уравнения в (1.2.2). Для обобщения на многомерный случай разностных схем первого порядка точности с положительной аппроксимацией представим (1.2.2) в виде линейной комбинации одномерных операторов с положительными коэффициентами jj, в сумме равными единице [57, 111]:

Вводя в области интегрирования разностную сетку аппроксимируем выражения в скобках разностными выражениями.

где A= {CL^VJ)_t — диагональные матрицы, элементы которых для всех k₉j = 1, 2,. .. , / и / = 1определяются из уравнений (1.5) и неравенств (1.10) (т.е. из (1.11) —(1.13)), причем X = Х^Уу в (1.11) — (1.13) теперь являются собственными значениями матриц Dj.

В результате получим разностные схемы первого порядка точности вида.

X А^у¹ ?lj положительно определена), так как все ту > 0 и, кроме того, в линейной алгебре известно, что сумма неотрицательно (положительно) определенных матриц также является неотрицательно (положительно) определенной матрицей.

Если для всех / = 1одномерные разностные операторы (3) — явные (У] < 0), тогда схема (3) в целом также будет явной, например, для двухслойных схем и _f =0:

В частности, при / =? 3 и использовании недивергентных вариантов одномерных схем (2.11) по каждому направлению на восьмиточечном шаблоне.

• (f «^хт | «^хт _а «^хт ₃) > (^ > ^хт, > ^хт _а » ^х т ₃) > (^ «*m, * 1 г ^хт _а «^хт ₃) >
• (Г^л, х_т1, х_тз±1, х_тэ), (/ⁿ, A:_mi, x_m3, x_mj tl) получим схему I из разд. 3 гл. Ш:

aside class="viderzhka__img» itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

в которой явная зависимость от коэффициентов 71,72 и у₃ (71 + 72 + 7з ⁼ = 1) исчезает, однако их введение позволяет найти допустимые значения т. Действительно, условие неотрицательной определенности входящих в (4) матриц имеет вид (в случае симметричныхАх~А₃)

Из выражений (5) видно, что, например в случае т₂<(т₁, Т2 <�г₃ имеем т * т_г и представляет интерес один из одномерных разностных операторов (соответствующий направлению / = 2) выбирать неявным. Если выбрать в качестве одномерных операторов схему Б. Карлсона для / = J = 2 и недивергентный вариант схемы (2.11) для/ = 1, тоиз (3) получим следующую явно-неявную разностную схему [57, 111):

Здесь j — диагональные матрицы с неотрицательными элемента;

3. Более разнообразные возможности возникают (в том числе для обобщения на многомерный случай сеточно-характеристических схем второго и более высокого порядка точности, гибридных схем и т. п.), если использовать представление многомерных разностных операторов в виде произведения соответствующих одномерных операторов, а не их суммы, как это сделано выше. Для некоторых монотонных схем первого порядка точности это сделано, например, в работе [112], другие общие методы расщепления изложены, например, в работах [5,8,71−78].

В качестве примера укажем построенное в [83] обобщение на многомерный случай явной схемы третьего порядка точности типа (2.21) — (2.23), (2.25), в которой на первых двух этапах (типа (2.21), (2.22)) вместо схемы Лакса—Вендроффа используется многомерный вариант схемы Маккормака [59]. Если в такой схеме, аналогично (2.24), 7 = 0, заменить скалярные коэффициенты g^l из (2.25) на матричные Slj’GjSlj с диагональными матрицами Gj = gf j, задаваемыми соотношениями.

gj = - I of 1(24 — 5 | of |)/152, of = тХ'/й,-, / = 1, 2, 3, / = 1…/, то можно добиться и в многомерном случае аналогичного кривой 3 на рис. 4.14, в поведения на разрывных решениях. Такая модификация не изменяет третьего порядка аппроксимации разностной схемы [83]. Расчетными формулами для нее в случае трех пространственных переменных Х — *3 будут соотношения: ,

Здесь с помощью двухшаговой схемы Маккормака (9), (10) на промежуточном слое t = tⁿ + ат вычисляются вспомогательные значения ⁿnt°rh т ^{9 а затем с} помощью второго корректора (11) — окончательные значения u^⁺¹_{m т}. Вместо (9), (11) в трехмерном нестационарном случае здесь могут быть использованы другие схемы второго порядка точности.

Как пример явной гибридной схемы, приведем двумерный вариант консервативной схемы (2.11), (2.15), (2.18) (см.: [64]) для дивергентной системы (1.2.3), в которой в качестве предиктора для вычисления u_mim₂ используется многомерный вариант монотонной схемы (2.11), т. е. (6) при / = 2, а в качестве корректора.

Для обеспечения второго порядка аппроксимации при у, — = 0 в случае некоммутирующих матриц Aj (А_ХА₂ Ф A₂A_V) в корректоре (12), как обычно (см.: [9]), следует использовать циклическую перестановку независимых переменных х_х и х₂. Скалярные параметры y_f выбираются независимо для каждого пространственного направления Xj в соответствии с (2.28).