Устойчивость плоской формы изгиба

Рассмотрим балки, у которых жесткости в двух взаимно перпендикулярных плоскостях существенно отличаются. При попытке изогнуть такую балку в направлении большей жесткости, балка изгибается в направлении меньшей жесткости и поворачивается. При этом поперечные сечения поворачиваются относительно оси балки без искажения. Нагрузка, при которой происходит потеря плоской формы изгиба, называется критической.

Пример 12.5. В качестве примера возьмем простейший случай — чистый изгиб тонкой полосы прямоугольного сечения (рис. 12.19). Па опорах концы балок могут поворачиваться только в вертикальной плоскости. Определим значение критического изгибающего момента.

Рис. 12.19. Потеря плоской формы при чистом изгибе.

Решение

При потере устойчивости произвольное сечение т — п получит смещение по вертикали v, по горизонтали и и повернется на угол 0.

ЫР hb³

Обозначим жесткости: El_y = Е— — жесткость относительно оси у; Е1_У = — —.

hb³(b)

жесткость относительно оси z; GJ_K = 1 — 0,630 т — жесткость балки при.

3 ^ П;

кручении.

Дифференциальные уравнения изгиба в двух плоскостях и кручения имеют вид Во втором уравнении из-за малости угла синус заменен аргументом.

Для определения величины критического момента достаточно рассмотреть два последних уравнения, являющихся уравнениями деформаций, возникающих в момент потери устойчивости. Продифференцируем последнее уравнение.

d²u

по х и подставим из него — во второе уравнение:

Решение этого уравнения, как известно, имеет вид 0 = Acosnx + Bsinnx. Произвольные постоянные определим из граничных условий: при х = 0 0 = 0; при х = I 0 = 0. Подставляя эти значения, получим, что А — Он Bsin nl = 0. Так как В 9^ 0, то sin /?/ = 0. Минимальное ненулевое значение будет при п! = п. Следовательно,

Для стержня, у которого оба конца закреплены от поворота в горизонтальной.

2тг плоскости, критический момент определяется величиной Л/_кр =—yjEI₂GJ_K.

Из приведенных формул очевидно, что критический момент зависит от минимальной жесткости.

Решение других задач, например определение критической силы, приложенной на конце консоли, более сложное. Для решения дифференциальных уравнений используются либо ряды, либо функции Бесселя.

Для практических целей может оказаться полезным решение для тонкой шарнирно опертой полосы, находящейся под действием приложенной в се;

Рис. 12.20. Потеря плоской формы изгиба от сосредоточенной силы редине пролета поперечной силы (рис. 12.20). Концы полосы закреплены от поворота относительно оси полосы.

Выражение для критической силы, вызывающей боковое выпучивание полосы, определяется формулой г_К|) =——~₂-, где числовое значение ко;

¹ GJ

эффициента т зависит от величины отношения —.

Некоторые значения коэффициента т даны в табл. 12.5.

Значения коэффициента т

Таблица 12.5

Упражнение 12.4. Определите значение критического изгибающего момента для условий примера 12.5 энергетическим методом.

Контрольные вопросы

• 1. Какую форму принимает равномерно сжатое по окружности кольцо при потере устойчивости?
• 2. От каких параметров зависит распределенная критическая нагрузка на кольцо?
• 3. Зависит ли распределенная критическая нагрузка на круговую арку от количества шарниров?
• 4. Какие формы потери устойчивости может иметь симметричная трехшарнирная арка?
• 5. Зависит ли критическая нагрузка при сжатии пластинок от их размеров?
• 6. Какую форму принимает длинная шарнирно опертая пластинка при потере устойчивости?
• 7. Является ли верхняя критическая нагрузка достаточной при оценке надежности круговой цилиндрической оболочки?
• 8. Когда имеет место потеря плоской формы изгиба?