Существование системы целых чисел Вводные соображении

Существует ли определенная нами система целых чисел? Нс ведет ли к противоречию се аксиоматическое определение 3.1.2? Отвечая на эти вопросы, мы построим систему целых чисел, используя натуральные числа, и тем самым покажем, что если бы наше определение целых чисел было противоречивым, то противоречие оказалось бы следствием аксиом Пеано. Но, как было отмечено в п. З § 1 главы 2, аксиоматическая теория натуральных чисел, основанная на аксиомах Пеано, непротиворечива. Тем самым будет доказана непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел, основанной на определении 3.1.2.

Теорема 3.1.6 утверждает, что всякое целое число можно представить в виде разности натуральных чисел. Это наталкивает на мысль «смоделировать» целое число z = a-b, где a, beN, в виде упорядоченной пары натуральных чисел (я, 6). Например, число 5 = 6−1 изобразится в виде упорядоченной пары (6,1). Однако целое число представляется в виде разности натуральных чисел неоднозначно. Например, 5 = 6−1 = 7−2 = 8−3 = …, поэтому пары (6,1), (7,2), (8,3), … следует считать «моделями» одного итого же целого числа 5. Очевидно, a-b=a_]-b_] тогда и только тогда, когда a + b_]=b + a_]. Поэтому если выполняется последнее равенство, то будем считать, что упорядоченные пары натуральных чисел (а, Ь) и изображают одно и то же целое число. Такие пары назовем эквивалентными. Класс пар, эквивалентных паре (я, 6), обозначим через (а, Ь) — он «моделирует» целое число а-b. Как определить сложение и умножение классов эквивалентных пар, чтобы получить кольцо целых чисел? Найдем сумму и произведение разностей натуральных чисел:

Следовательно, суммой классов (а, Ь) и (с,</) целесообразно считать класс (a+c_yb+d)_y а их произведением — класс (ac+bd, ad +Ьс). Теперь понятно, как нужно строить кольцо целых чисел из натуральных чисел. Реализуем намеченную программу.

Построение кольца целых чисел На множестве NxN = {(a_yb)a, beN определим отношение ~, положив (a, b)^(a_ub_x) тогда и только тогда, когда a+b_l=a_]+b. 11окажем, что ~ есть отношение эквивалентности.

Рефлексивность: для любой пары (а, Ь) очевидно имеем (а, Ь) ~~(а, Ь).

Симметричность: если (я,/>,), то a + b_l=a^+b_i откуда (a_x, t)~(a_yb).

Транзитивность: если (a, b)~(a_ub) и (а_ьЬ₁)^(а₂, Ь₂)_у то.

а+Ь₁=а_] +Ь и a_i+b₂=a₂+b_l. Сложив эти равенства, получим a+b_]+a_l+f)₂=a_l+b + a₂+b_l, откуда a + b₂=b + a₂, то есть (а, Ь)~~ (а₂, Ь₂).

По отношению эквивалентности~ множество NxN распадается на неиересекаюшиеся классы эквивалентных нар. Обозначим (а_уЬ) = {(х_уу)(х, у)~(а_уЬ)}. Таким образом, (a_yb) = (a_]yb_l) тогда и только тогда, когда a + b=a_{+b. Множество всех классов эквивалентных пар обозначим через Z, а всякий класс (а_уЬ) назовем целым числом.

Определим на Z сложение формулой (ayb)®(cyd) = (a+cyb—d). Покажем, что сумма классов определяется своими слагаемыми однозначно. Пусть (ayb) = (alybl)y (cyd) = (c]ydx)y докажем, что (ayb)®{cyd)=(aXyt)®(cXydx). Из равенства (ауЬ) = (а,/>,) следует a + bl=al+b, а из (cyd) = (c[yd{) следует с + dx = cx+d. Отсюда a + b^+c + d^ =a]+b + c]+d. Следовательно, (a+cyb + d)=(ax +с, 6, +(ayb)®(c9d)=(alybl)®(c]yd]).

Определим на Z операцию умножения классов, положив (ayb)(cyd) = (ac+bdyad+ Ьс). Как и для сложения, легко доказать, что произведение классов однозначно определяется своими сомножителями.

3.2.1. Теорема. Система (Z, ®, ®) является кольцом целых чисел.

Доказательство. 1. Установим, что система (Z, ®, (?>) является кольцом.

1) Система (Z, Ф) является коммутативной группой. В самом деле:

a) сложение коммутативно и ассоциативно, что проверяется непосредственно с использованием соответствующих свойств сложения натуральных чисел;

b) нулевым элементом является класс 0 = (/?,/?), где neN, так как для любого класса (a_yb)eZ имеем: (а₉Ь) 0 0 = (а, Ь) Ф (л, л) = (а+п_уЬ + п) = (а, Ь);

c) для класса (а_уЬ) противоположным будет класс (Ь, а)_у так как. (а _УЬ) ®(b_ya) = (a + b, b + a) = 0.

• 2) Система (Z,) является полугруппой. Ассоциативность умножения проверяется непосредственно.
• 3) Умножение ® дистрибутивно относительно сложения ®, что также проверяется непосредственным подсчетом.
• 2. Рассмотрим множество N = {(п + _у)пе N]. Докажем замкнутость этого множества относительно сложения и умножения. Обозначим л = (я+ 1,1) для любого nsN. Тогда тФл = (т +1,1)Ф (л +1,1) = (т +1 + л +1,1 +1) = (/я + п +1,1) = т+пе N.

Аналогично для умножения. Так как изоморфный образ полукольца натуральных чисел есть полукольцо натуральных чисел (см. 2.8.2), то остается лишь установить изоморфизм (N, +, •) на.

• (N, Ф, ®). Легко проверить, что искомым изоморфизмом является отображение N, при котором (р{п) = п для любого a = b (-q) + r. Итак, доказано, что кольцо (Z, Ф, ®) содержит полукольцо натуральных чисел (N, Ф, ®>.
• 3. Докажем, что Z = N и {0} u —N. Пусть (a_yb) е Z. Для натуральных чисел а и b имеет место одно из сосггношений: а = Ь + к_ч а = Ь, Ь = а + т_у где k_ymeN. Если а = Ь+к₉ то (a, b) = (b + k, b) = (к +1,1) = к е N; если <7 = 6, то (a, b) = (Ь, Ь) = 0е {0}; если же Ь = а + т, то (a_yb) = (а, а + т) = (l, m + l) = -(m + l, l) € -N. ?

Упражнения

• 1. Укажите несколько пар, принадлежащих классу (5,7). Какое целое число моделирует этот класс?
• 2. Равны ли классы (2,13) и (13,24); (2,13) и (3,14); (12,3) и (327.382) ?
• 3. Будут ли противоположными классы (5,7) и (10,3); (6,8) и (9,7)?
• 4. Найдите —(5,7). Найдите классы, противоположные классам (12.15), (3,14).
• 5. Какой класс пар является единицей кольца (Z, Ф, ®) ?
• 6. В кольце (Z,®, ®) выполните действия (5,7)0(3,2)®(8,6)® (9,10).
• 7. В кольце (Z, ®, ®) решите уравнения: (3,2) Ф (х, у) = (5,7),
• (31,52)Ф(х^у) = (4Л), (Т^®й^Ф02) = (5Г7).
• 8. Докажите, что в кольце (Z, Ф, ®> всякое целое число представимо в виде разности натуральных чисел: (а, Ь) = а-Ь.
• 9. Определим на множестве N отношение «штрих», положив ii' = ri. Докажите, что система (N,') является натуральным рядом и (N, Ф, ®) является полукольцом натуральных чисел, то есть сложение Ф удовлетворяет условиям А) и В) из 2.2.1, а умножение ® — условиям С) и D) из 2.3.1.
• 10. Докажите, что в кольце (Z,®, ®) всякое подкольцо, содержащее N > совпадает с Z (свойство минимальности).