Общий взгляд на комплексные, двойные и дуальные числа

Следующая теорема позволяет бросить общий взгляд на комплексные, двойные и дуальные числа.

• 6.3.3. Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
• 1) система (К, +, •) есть либо поле комплексных чисел, либо кольцо двойных чисел, либо кольцо дуальных чисел;
• 2) система {К, +, •> есть коммутативное кольцо, которое содержит поле действительных чисел {R, +, •) и элемент j g R такой, что всякий элемент из К представим в виде a+bj, где a, beR.

Доказательство. Очевидно, из 1) следует 2). Докажем, что из 2) следует 1). Пусть коммутативное кольцо содержит поле действительных чисел (/?,+,•) и элемент j такой, что j&R и всякий элемент из К представим в виде a+bj, где a, be R. Тогда существуют u₉veR такие, что j^[1]=u + vj. Отсюда у^[1] —vj = u. Дополняя левую.

v " > v^[1]

часть равенства до полного квадрата, получаем (у-—) =м + —.

Рассмотрим три возможных случая.

v^[1] V^[1] ₂

• 1) и + —<0. Тогда и + — = -к для некоторого keR
• 4 4

V 2 2 1 V 2 1 V.

и (/ —) = -к~. Отсюда (— /—)" = -1. Обозначив / = — /—,.

^J 2 V 2к k^J 2к

будем иметь / =-1 и j = — + ki. Но тогда всякий элемент a + bjeK

V V.

представим в виде a + bj = a + b (- + ki) = (a + b-) + bki. Следовательно, всякий элемент из К представим в виде c+di, где c, deR. Легко доказать, что всякий такой элемент, отличный от нуля, обратим.

Следовательно, (К, +, •) — поле комплексных чисел.

2 2.

V V ?

• 2) м + —>0 Тогда и + —=-т для некоторого meR
• 4 4

и (у* — —)^[1] = щ^[1]. Отсюда (—у——)^[1] = 1. Обозначив j = —у——, 2 т' 2 т ' т' 2т

будем иметь у^[1] = 1. Если предположить, что у‘| е R, то получим j eR,

v.

что противоречит условию. Следовательно, jmj. Но тогда всякий элемент a + bjeK представим в виде a+bj = c + dj при некоторых c^deR. Таким образом, (К,+, •) — кольцо двойных чисел.

V^[1] V 2 Г.

• 3) м + — = 0 Тогда (у—) =0. Обозначив у₀ = у'—, будем иметь
• 4. Докажите существование двойных и дуальных чисел.
• 5. Опишите вид делителей нуля в кольце двойных чисел.

• [1] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [2] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [3] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [4] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [5] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [6] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [7] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [8] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [9] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.
• [10] v у о = 0 и у = —+ у0. Легко видеть, что j0eR и всякий элемент АГ представим в виде c + dj0, где c, d е R. Таким образом, (А +, •> -кольцо дуальных чисел.? Упражнения 1. Докажите единственность алгебраической формы двойного и дуального чисел. 2. Найдите алгебраические формы суммы, разности, произведения и частногодвух двойных (дуальных) чисел. 3. Докажите, что кольца двойных и дуальных чисел не являются полями.