Показатели формы распределения

Центральный момент третьего порядка f/₃=(x_t-x)³ используется при исчислении показателя асимметрии распределения. Для того чтобы показатель асимметрии не зависел от масштаба, выбранного при измерении варианта, вводят безразмерную характеристику — коэффициент асимметрии (нормированный момент третьего порядка):

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от х, имеют одинаковую частоту, поэтому //₃ = 0, а следовательно, и /₃=0. Если г₃<0, то в вариационном ряду преобладают варианты, которые меньше, чем средняя. Таким образом, ряд отрицательно асимметричен (или с левосторонней скошенностью — более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия характеризуется значением r_s > О (правосторонняя скошенность (см. рис.22)).

Рис. 22. Асимметрия распределения.

Крутизна (заостренность) графика распределения характеризуется нормированным моментом четвертого порядка:

Для нормального распределения = 3, поэтому для оценки.

<7.

крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения

Рис. 23. Эксцесс распределения.

Покажем это на примере метража пробегания игроков различного амплуа и команд в целом, показанных в играх (п=52) Чемпионата Европы по футболу 2008 г.

Таблица 5

Показатели коэффициента асимметрии и эксцесса.

Из представленных результатов (см. табл. 5) можно заключить, что по коэффициенту асимметрии в двух случаях из четырех (пробег игроков команды в целом и полузащитников) преобладают варианты большие, чем средняя, то есть скошенность правосторонняя. В одном случае (пробег защитников) — меньшие, чем средняя, и скошенность левосторонняя, а в перемещениях нападающих наблюдаем симметричное распределение.

Представленные расчеты позволяют говорить о характере отклонений генеральной совокупности, из которой взяты наши примеры, и проверить гипотезу о нормальности ее распределения. Это в свою очередь способствует выбору соответствующих (параметрических или непараметрических) методов обработки результатов.

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона представляющий собой отношения разности между выборочной средней и модой к среднему квадратическому отклонению:

Если К_а >0, скошенность правосторонняя (как и для г₃)

К_а< 0 — левосторонняя,.

К_в = 0 — вариационный ряд симметричен.

Рассмотрим достижения «Спартака» по числу набранных очков за 16 сезонов.

х =-" 57,625.

М₀ = 59.

х — М₀ = 57,6−59 = -1,4 < 0 — асимметрия левосторонняя. Сравним с достижениями «Москвы» с 2001 но 2007 гг.:

= 39 Л/, =40.

* - Л/_и = 39 — 40 = -1 < 0 и асимметрия тоже левосторонняя.

Итоги сезона в Германии 2006;2007.

— ⁸³⁹ л**,.

х =-«46,61.

М" = 44 (9— 10 места из 18).

х — М_о = 46,61 — 44 = 2,61 > 0 — скошенность правосторонняя, следовательно, в сторону сильных клубов.

Итоги сезона в России. 2006 год.

^ = —"40,25 16.

М_о = 41 (8—9 место).

х-М₀ = 40,25 -41 = -0,75 <0 — скошенность левосторонняя в сторону слабых.

Италия 2006—2007.

— ¹⁰²⁶ С11.

х —-«51,3.

М_а =46 (10 место).

х — М₀ = 51,3 — 46 = 5,3 > 0 — скошенность правосторонняя.

Испания 2006—2007.

• — ¹⁰⁴² о,
• -V =-" 52,1
• 20

М₀ =50 (10 место).

х-М₀ —52,1 -50 = 2,1 >0 — скошенность правосторонняя.

Англия 2006—2007.

— ¹⁰⁴²

.г =-" 52,1.

М_а =52 (10 место).

х-М₀ — 52,1 — 52 = 0 — симметричны.

Россия 2005.

х = — «40,7 16.

М₀ =38 (8—9 место).

х-М₀ = 40,7 -38 > 0 — скошенность правосторонняя.

Россия 2004

* = «1=40,7.

М₀ = 40 (8—9 место).

х — М_о = 40,7 — 40 = 0,7 «0 — симметричны.

Россия 2003

— ⁶⁵⁷

х =-% 41,06.

М_о =43 или 42 (8—9 место).

х — М₀ = 41,06 -42,5 = -1,5 < 0 — скошенность левосторонняя.

В данном случае коэффициент асимметрии Пирсона является простым инструментом определения преобладания в первенстве более сильных или более слабых клубов.