Аксиоматическое задание функции полезности

Изучим теперь условия, которым должно удовлетворять отношение > для того, чтобы выполнялось предположение о средней полезности, т. е. чтобы на множестве R существовала функция U со следующим свойством: если Р, и Р₂ — два произвольных распределения из класса ^s$₆, то Р_{ ;$ Р₂ тогда и только тогда, когда E (UP_{) < E (UP₂).

Отметим, что для двух произвольных распределений Р, и Р₂ из класса ЦЬ_В, для любого числа а, 0 < а < 1 и любого множества доходов I е Jy распределение аР,(/) + (1 — а) Р₂(/) также принадлежит классу Ц$_в. Поскольку выбор множества /е§ является произвольным, можно обобщить сказанное выше тем, что классу принадлежит распределение аР, + (1 — а) Р₂.

Теперь перейдем к изучению выше упомянутых условий. Сформулируем первое.

Аксиома (независимости) — пусть Р, Р₂ и Р — три произвольных распределения из класса Ц$_в и, а — такое число, что 0 < а < 1. Тогда Р, < Р₂ в том и только в том случае, если.

С целью понимания этой аксиомы рассмотрим две игры, в которых распределения выигрышей таковы: аР, + (1 — а) Р — в первой игре и аР₂ + + (1 — а) Р — во второй соответственно. Рациональность требования, поставленного в указанной аксиоме, является хорошо обоснованной. Она заключается в том, что, если считать игру с распределением выигрыша Р₂ более предпочтительной, чем с распределением Р, то, сравнивая «комбинированные» игры с учетом выигрыша, распределенного по закону Р, ЛПР может видеть, что с вероятностью (1 — а) им будет получена одна и та же игра с распределением выигрыша по закону Р, а с вероятностью, а — игру с распределением по Р₂, более предпочтительную, чем по Р_{. Следовательно, рациональное решение ЛПР будет в пользу более предпочтительной комбинации с распределениями по Р₂ и Р.

Указанная аксиома имеет три важных следствия.

1. Пусть P_v Р₂, Qp Q₂ — четыре распределения из класса Щ_в, причем Р_{ ;$ Qj и Р₂ ;$ Q₂ и пусть 0 < а < 1. Тогда.

Далее, если Р, < Q, или Р₂ < Q₂, то.

2. Если ^ и г₂ — два дохода из R, причем г, < г₂ и 0 < а < 1, то.

3. Для любых двух доходов 7 и г₂ из Р, для которых r_t < г₂, и для любых двух чисел, а и р, таких, что 0 < а < 1, 0 < р < 1, соотношения.

равносильны.

Перейдем к изучению следующей аксиомы. Согласно ей, незначительное изменение вероятностных распределений не влияет на отношение строго предпочтения.

Аксиома (непрерывности предпочтений) — пусть Pv Р2 и Р — три распределения из класса такие, что Р^ Р2. Тогда найдутся числа, а и р (О 1, 0 Р, а Р2 + (1 — а) Р, и Р > рР2 + (1 — р) Р,.

Из данной аксиомы следует следующее. Пусть г и г, — доходы, для которых г > r_v Тогда никакой доход r₂ е R не может быть полезным настолько, чтобы, какую бы малую вероятность р > 0 ему ни приписали, выполнялось соотношение pr₂ + (1 — р) г, > г. Аналогично, если г и г₂ — доходы со свойством г < г₂, то никакой доход г, е R не может быть столь невыгоден, чтобы при приписывании ему сколь угодно малой вероятности (1 — а) > 0 он приводил к соотношению аг₂ + (1 — а)г_{ < г. Другими словами, аксиома непрерывности предпочтений говорит о том, что ЛПР предпочитает уменьшить шансы на получение максимального дохода при одновременном снижении риска максимальных потерь, чтобы увеличить возможность получения желаемого «заурядного» дохода. Таким образом, вторая аксиома является эмпирически обоснованной.

Основываясь на изученных аксиомах, сформулируем следующую теорему.

Теорема (*). Пусть г, г_х и г₂ — доходы из R, причем г_х < г₂ и г, ^ г ^ г₂. Тогда найдется единственное число (0 < о < 1), такое, что r ur₉ + (1 — о.

Доказательство'. Если г ^ r_v то о = 0. Если г₂, то о = 1. Предположим, что ) <�г< г₂, и пусть S_{ и S₂ — подмножества единичного интервала, определяемые следующим образом: 5, = {а: г < а г., + (1 — a) r_t}, S₂ = {а: г > а г₂ + + (1 — а)/*,}. Согласно третьему следствию из аксиомы независимости, если я, g 5, и а₂ > a_v то а₂ е S_v и если а_] g S₂ и а₂ < a_v то а₂ g S₂. Кроме того, ни одно из множеств 5, и S., непусто, поскольку 1 е и 0 е S₂. Поэтому 5, есть интервал вида (р, 11, а 5₂ — вида |0, а). Далее из аксиомы непрерывности предпочтений следует, что если р, е 5, то существует число р₂, такое, что Р₂ < Р, Р₂ g Sy Следовательно, конец интервала р не может принадлежать Sy Аналогично и, а не может лежать в множестве S₂.^[1]

Поскольку множества S_{ и S₀ не пересекаются, то в соответствии с их определением, а < р. Следовательно, существует число и, такое, что, а < о < р. Так как о не принадлежит ни S_v ни 5₂, то должно быть г ~ ur₂ + (1 — о)^. Поэтому число и, удовлетворяющее условиям теоремы, всегда существует и, в силу третьего следствия из аксиомы независимости, оно единственное.

• [1] Де Гроот М. Указ. соч.