Работа с векторами с помощью языка C++

Возможности языка C++ по определению новых классов и переопределению различных операторов для этих классов позволяют реализовать работу с двухмерными векторами с помощью классов. Для этого необходимо реализовать двухмерный вектор как класс со всеми необходимыми операторами и вспомогательными функциями. Ниже приведен пример использования подобного класса:

Соответствующая реализация данного класса приводится ниже. Обратите внимание, что оператор умножения числа на вектор определяется для двух возможных порядков аргументов, что позволяет писать как 2*а, так и а*2:

Контрольные вопросы и упражнения

• 1. Что такое R²?
• 2. Что такое система координат на плоскости?
• 3. Выразите преобразование сдвига через преобразования масштабирования, отражения и поворота.
• 4. Докажите, что преобразование переноса f (u) = u + a не является линейным, если вектор а не равен нулевому вектору.
• 5. Докажите, что если линейное преобразование обратимо, то обратное к нему преобразование также будет линейным.
• 6. Докажите, что композиция линейных преобразований сама является линейным преобразованием.
• 7. Докажите, что всегда выполняется следующее равенство: (Au, v) = (u, A^Tv).
• 8. Пусть имеется прямая на плоскости, заданная уравнением ах + Ьу + с = 0. Приведите уравнение прямой к виду (p, n) + d = 0 и найдите расстояние от этой прямой до начата координат.
• 9. Докажите, что (и, г>)| <|м||п|.

• 11. Приведите пример матриц А и В, таких, что Л В * В А.
• 12. Пусть а и b — единичные вектора. Найдите вектор г, являющийся отражением вектора а относительно вектора b (т.с. угол между а и b равен углу между г и Ь).
• 13. Пусть есть две прямые, заданные уравнениями а, х • + Ь_ху + q = 0 и арс+ +Ь_гу + с₂ = 0. Найдите угол между этими прямыми.
• 14. Напишите функцию, которая получает на вход массив точек на плоскости и заданную матрицу и преобразует все точки с использованием этой матрицы.
• 15. Докажите, что при умножении матрицы поворот на произвольную матрицу дает вектор той же длины, что и исходный вектор.
• 16. Напишите функцию, проверяющую, пересекаются ли отрезок [а, Ь (заданный своими концами) и прямая (и, п) + d = 0.
• 17. Напишите функцию, проверяющую, пересекаются ли два отрезка на плоскости, заданные своими концами.
• 18. Реализуйте матрицы 2×2 как класс на языке C++ по аналогии с двухмерными векторами, рассмотренными в этой главе. При этом для экземпляров данного класса должны быть определены все необходимые операторы и вспомогательные функции.