Частица в ящике с непроницаемыми стенками

Рассмотрим в рамках квантовой механики движение частицы, заключенной в некотором ограниченном объеме V. Пусть этот объем имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 20.11). Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы плоскости, ограничивающие движение частицы, имели уравнения: х = 0, х = а, у = 0, у = 6, z = 0 и z = с, где а, 6 и с — длины ребер параллелепипеда.

Если частица испытывает воздействие только со стороны стенок ''ящика" при ударах о них, а внутри него движется свободно, то зависимость ее потенциальной энергии от координат можно описать формулой.

где V — область пространства внутри ящика.

Рис. 20.11. Частица в ящике с непроницаемыми стенками.

По условиям задачи волновая функция вне ящика всюду равна нулю. Функцию ip = <�р (г)_} которая описывает стационарное движение частицы внутри ящика, где U = 0, найдем из уравнения Шредингера (4.43).

Так как волновая функция должна быть непрерывной по определению, на стенках ящика она должна быть равна нулю:

Имея в виду, что стационарные состояния частицы в одномерной потенциальной яме описываются функцией (20.50), предположим, что стационарные состояния частицы в прямоугольном ящике описываются функцией где Заметим, что совокупность чисел ni, п2 и пз можно рассматривать как трехзначный номер волновой функции:

В самом деле, нетрудно видеть, что функция (20.61) удовлетворяет граничным условиям (20.60). Подстановка этой функции в стационарное уравнение Шредингера (20.59) убеждает в том, что она является его решением, если энергия частицы Е связана с квантовыми числами ni, п2 и пз формулой.

Величины &2 и ib₃ можно рассматривать как проекции на оси координат волнового вектора к:

При этом энергию частицы можно представить формулой.

где к — модуль волнового вектора к.

Постоянную Л в формуле (20.61) нетрудно найти из условия нормировки (19.28) волновой функции:

где V = ab с — объем параллелепипеда.

Итак, доказано, что возможные стационарные состояния частицы в ящике, описываемые функциями <^п1п₃п₅(^х> У" ^г)" образуют счетное множество; а соответствующие этим состояниям значения энергии частицы составляют дискретный спектр.