Примеры расчета. 
Строительная механика

Пример 1. Построим эпюру моментов в статически неопределимой балке, показанной на рис. 6.12, а. В качестве основной системы примем две простые балки, полученные из заданной двухпролетной неразрезной балки путем постановки шарнира над средней опорой (рис. 6.12, б).

На рис. 6.12, виг показаны эпюры в основной системе от силы Р = 12 кН и единичного значения лишнего неизвестного Х — . Применяя правило Верещагина, вычислим коэффициенты:

Решая каноническое уравнение ЬХ + А_Р = 0, найдем Х = = 27/4 = 6,75 кН. Таким образом, момент над средней опорой М_Р = 6,75 кН-м. Окончательная эпюра М_Р показана на рис. 6.12, д.

Пример 2. Построим эпюры M_Pf Q_P и N_P в дважды статически неопределимой рамс, изображенной на рис. 6.13, а. Жесткости соответствующих элементов EJ₀ = 2/3EJ, EJ₂ = EJ, EJ₂3 = 1/3EJ. Длины элементов /₀₁ = 10 м, 1₂ = 6 м, 1₂3 = 8 м. К узлу 2 приложена сила Р= 18 кН.

Основная система (рис. 6.13, б) получена из заданной путем отбрасывания двух связей в узле 3. В результате имеем статически определимый ломаный стержень, заделанный одним концом.

На рис. 6.13, виг изображены эпюры М и М₂ от единичных значений неизвестных Х = 1 и Х₂ = 1, а на рис. 6.13, д показана эпюра от нагрузки. По эпюрам находим:

Для проверки вычисленных перемещений, умножая эпюруM_s (рис. 6.13, ё) саму на себя и на эпюру от нагрузки, найдем.

с другой стороны.

Таким образом, вычисления проведены правильно. Канонические уравнения после сокращения всех слагаемых на 4/(?/) примут вид.

Этим уравнениям соответствует матричное уравнение Обратная матрица

Следовательно,.

По полученным данным построена окончательная эпюра Мр, которая показана на рис. 6.14, а (моменты приведены с округлением до двух значащих цифр после запятой). Поперечные силы:

Продольные силы:

Эпюры Qp и Np показаны на рис. 6.14, б и в.

Рис. 6.14.

Пример 3. Рассмотрим симметричную четырежды статически неопределимую раму при действии горизонтальной силы Р = 6 кН (рис. 6.15, а). Жесткости EJ всех стержней примем одинаковыми.

а.

Рис. 6.15

Основная система (рис. 6.15, б) получена из заданной путем разреза рамы по оси симметрии. Эпюры от единичных неизвестных показаны на рис. 6.16, а, б, г и д, а эпюры Мр и M_s — на рис. 6.16, в и е. _ Эпюры от единичных неизвестных разделились на две группы: М| и Л/₂ (см. рис. 6.16, а, б) симметричные, М3 и М4 (см. рис. 6.16, г, д) кососимметричные. Это обстоятельство внесет в расчет существенные особенности. В самом деле, результат перемножения симметричной и кососимметричной эпюр равен нулю. Так, например, результат вычисления по эпюрам для левой стойки даст некоторую положительную величину, а для правой стойки даст ту же самую величину, но со знаком «минус». В сумме эти две величины дадут ноль. Па основании изложенного будем иметь 813 = 823 = 8^ = = 8₂4 = 0, поэтому четыре канонических уравнения разделятся на две самостоятельные группы, в каждой из которых будет содержаться, но два неизвестных.

Вычислив перемещения, получим.

Рис. 6.16.

Матрица единичных перемещений и столбец перемещений от нагрузки примут вид

Читателю предлагается самостоятельно проверить правильность вычисленных перемещений. Умножив эпюру M_s саму на себя, мы должны получить сумму всех коэффициентов матрицы А, которая, как легко убедиться, равна 1592. Умножение М на эпюру от нагрузки даст сумму всех грузовых перемещений (6804). Вместо одного матричного уравнения будет два самостоятельных уравнения.

Уравнения для симметричных и кососимметричных неизвестных будут.

Решая две системы уравнений, найдем неизвестные — симметричные Ху и Х2 и кососимметричные Х₃ и Х₄: Ху = -3 кН; Х2 = 0; Х₃ = 3,27 273 кН; Х₄ = 4,90 909 кН.

По формуле (6.11) во всех узлах находим ординаты эпюры, по которым построена эпюра моментов (рис. 6.17, а). На рис. 6.17, б и в показаны эпюры Q_P и Np. В процессе решения данной задачи выявились некоторые особенности, связанные с симметрией данной рамы; система канонических уравнений разделилась на две отдельные системы. Эпюры М_Р и N_P оказались кососимметричными, выявились и некоторые другие особенности, анализ которых дан в следующем параграфе.

Рис. 6.17.