Вынужденные колебания системы около положения равновесия

Пусть на систему, совершающую малые колебания, действует внешняя гармоническая сила, работа которой на возможных перемещениях равна

Здесь и — частота гармонической обобщенной силы F. При переходе к нормальным координатам получим

Уравнения движения в нормальных координатах примут вид

Частное решение этих уравнений, описывающее вынужденные колебания системы, представляется в форме.

Второй случай в (4.1) соответствует резонансу, когда частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы. В этом случае по соответствующей нормальной координате наблюдаются возрастающие по амплитуде колебания, а по остальным координатам — гармонические колебания на частоте вынуждающей силы.

При отсутствии резонансов будут иметь место ограниченные гармонические колебания на частоте вынуждающей силы. Переход от нормальных координат к исходным осуществляется по формулам.

ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ НА МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

0.5.1. Линейной диссипативной силой будем называть обобщенную силу.

если оператор D симметрический, постоянный и положительно определенный.

Функция /?(q) называется диссипативной функцией Релея.

Уравнения движения с учетом диссипативных сил примут вид.

где А и В — матрицы инерции и жесткости соответственно.

Умножив уравнения (5.1) скалярно на q, получим теорему об изменении энергии системы.

Когда диссипативные силы отсутствуют (D- 0), полная механическая энергия системы сохраняется (Aq, q) + (5q, q) = 2A, anpn наличии диссипации она убывает, если q * 0.

Решение уравнения (5.1) будем искать в виде q = и ехр (Хг). Имеем.

Однородная система линейных алгебраических уравнений (5.3) имеет ненулевое решение, если X является корнем характеристического уравнения.

Л. Все корни характеристического уравнения (5.4) имеют отрицательные действительные части.

? Пусть X, = а + /р, р * 0, — корень уравнения (5.4) и u, = v, + + /ж, — отвечающий ему собственный вектор. Тогда Х₂ = а — /р и u₂ = V, — /W| также будут собственным значением и собственным вектором задачи (5.3), поскольку матрицы A. D. В действительны, а именно.

Тогда.

Так как матрицы A, D, В симметрические, то (Ли, и₂) = (Ли₂, U]); (?>U|, и₂) = (Z)u₂, и,), (5U|, и₂) = (Ди₂, и,) и X, Х₂ являются корнями квадратного уравнения.

По теореме Виета.

так как операторы А и D положительно определены. Следовательно, действительные части комплексно-сопряженных корней отрицательны, и соответствующее им решение имеет вид.

где С, Q — произвольные постоянные.

Если Х₃ — действительный корень характеристического уравнения (5.4) и и₃ — соответствующая ему собственная форма, то Х₃ является корнем квадратного уравнения Обозначим второй действительный корень квадратного уравнения (5.5) через X*. По теореме Виета получим.

Корни Х₃, X* имеют одинаковый знак ((Ди₃, и₃) > 0) и отрицательны. Соответствующее корню Х₃ решение суть q= C₃u₃ ехр (Х*, /). где С₃ — произвольная постоянная. ?

Положение равновесия асимптотически устойчиво, поскольку общее решение уравнения (5.1) представляется в виде суммы экспонент, показатели которых имеют отрицательные монотонно убывающие действительные части и lim q (/) = 0.

/-*"> ' '