Методы моделирования. 
Менеджмент. 
Методы принятия управленческих решений

К основным методам моделирования, используемым на этапе диагностики проблем, относятся: экономико-математическое моделирование, теория очередей, теория запасов, экономический анализ.

Экономико-математическое моделирование основывается на использовании однои многофакторных моделей. Применяются однофакторные модели следующих видов: линейные модели, парабола и гипербола; многофакторные модели: линейная и логарифмическая. Наиболее часто применяются линейные модели — однофакторные:

и многофакторные:

где у — зависимая переменная, описывающая последствия принимаемых решений; я₀, а_{,…, а_п — параметры уравнений; х_у х_Ху…, х_п — независимые переменные при принятии решений. Задача состоит в определении параметров уравнения.

а₀, ci^y…, ci_fj.

Теория очередей (теория массового обслуживания) применяется для решений, связанных с ситуациями ожидания. Она помогает принять решение, устанавливающее определенное равновесие между размерами упущенной выгоды (доходов) и величиной дополнительных затрат в сервисных организациях, таких как банки, магазины, железнодорожные и авиационные кассы, поликлиники, автозаправочные станции, ремонтные фирмы, парикмахерские, телефонные станции. Клиенты, не желающие стоять в очереди, представляют упущенную выгоду. Время ожидания можно сократить за счет увеличения количества операторов, обслуживающих систему, что ведет к увеличению затрат. В основе расчетов лежит известная формула Пуассона:

где Р_п — вероятность появления п-го количества клиентов; е — основание натурального логарифма, е = 2,7183…; X — среднее количество клиентов; п — количество клиентов в единицу времени.

Основными характеристиками модели теории очередей являются количество каналов обслуживания, среднее время обслуживания одного клиента, количество клиентов, время ожидания обслуживания и др. На основе выполненных расчетов определяется необходимое количество каналов обслуживания при допустимом, с точки зрения клиента, ожидании обслуживания.

Важная характеристика систем массового обслуживания — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования — эго, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид.

Иными словами, вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется этой формулой, где р — параметр экспоненциального закона распределения времени, необходимого для обслуживания требований в системе, т. е. величина, обратная среднему времени обслуживания ?_об:

Наиболее распространены системы массового обслуживания с ожиданием, т. е. такие системы, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет т обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром X.

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше т требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования ?_об — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром р.

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые (с ограниченной длиной очереди) и разомкнутые (с неограниченной очередью). К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает, как правило, в самой системе и ограничен. Если в канале обслуживания возникает очередь с бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслуживания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).

При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Важнейшие характеристики работы систем массового обслуживания:

1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

где п — количество клиентов; k — число обслуживающих каналов; а = Х/р — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования, X — среднее число требований, поступающих за единицу времени, 1/р — среднее время обслуживания одним каналом одного требования;

2) вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

3) вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

Условие а/п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования;

5) среднее время ожидания требования в системе:

6) средняя длина очереди:

7) среднее число свободных от обслуживания каналов:

8) коэффициент простоя каналов:

9) среднее число занятых обслуживанием каналов:

10) коэффициент загрузки каналов:

Рассмотрим пример системы массового обслуживания с очередью, где X — среднее число требований, поступающих за единицу времени; 1/ц — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда ос = Х/х — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. Поэтому условие а/п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

Пример. Повседневными задачами ИТ-службы является обеспечение работоспособности ИТ-инфраструктуры, предоставление информационных услуг и своевременное разрешение инцидентов.

Инцидент — это любое событие, не являющееся частью стандартных операций по предоставлению услуги, которое привело или может привести к нарушению или снижению качества этой услуги. В методологии управления ИТ-процессами под инцидентами понимаются нс только ошибки аппаратного или программного обеспечения, но и запросы на обслуживание. Запрос на обслуживание (service request) — это запрос от пользователя на поддержку, предоставление информации, консультации или документации, не являющийся сбоем ИТ-инфраструктуры. Таким образом, классическая задача теории массового обслуживания, решенная сотрудником Копенгагенской телефонной компании А. Эрлангом (1878—1929), в терминологии менеджмента инцидентов может быть описана следующим образом.

Пусть т специалистам службы поддержки поступает простейший поток обращений интенсивностью X. Если в момент поступления обращения есть хотя бы один свободный специалист, то он немедленно принимается за работу. Если все специалисты заняты, то обращение становится в очередь за требованиями, которые поступили раньше. Освободившийся специалист принимается за разрешение очередного инцидента. Каждый инцидент решается только одним специалистом. Специалист решает в каждый момент времени не более одного инцидента. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же законом распределения вероятностей.

Таким образом, менеджмент инцидентов является классическим примером системы массового обслуживания с очередью: инцидент регистрируется в системе, разрешается, а затем закрывается. Тогда модель, построенная с использованием теории массового обслуживания, должна описывать связь между средним временем работы специалистов технической поддержки и средним временем разрешения инцидента, а также производительностью системы и давать ответы па вопрос: какова стоимость простоя клиентов в очереди на обслуживание и стоимость содержания дополнительных ИТ-сотрудников?

Для решения данной задачи необходимо определить параметры входного потока требований на обслуживание, описываемого законом Пуассона. Предположим, проведены хрономстражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени, которые показали, что среднее число инцидентов в единицу времени X = 0,903 иицидента/мин.

Предположим далее, что закон распределения вероятностей длительности обслуживания является экспоненциальным, а средняя продолжительность обслуживания одного инцидента равна 1,6 мин. Тогда интенсивность обслуживания составит, инцидентов/мин:

Если Ар, как в нашем случае (0,903 > 0,625), то в службе поддержки образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность P"(t) того, что в момент времени t очередь будет характеризоваться числом требований п.

Определим среднее время ожидания (Г_с), которое складывается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Г_ож) и среднего времени обслуживания (Г_обсл):

В том случае, когда в системе работают п операторов, среднее время пребывания заявки в очереди (Г_ож) и среднее время пребывания заявки в системе (Т_с) находятся по формулам Литтла:

где

где L_c = L₀₄ + а, а = Х/х.

В нашем случае а = 0,903 / 0,625 = 1,4448; при п = 2 время пребывания заявки в очереди Т_ож = 1,6 мин, а время пребывания заявки в системе Т_с = 3,2 мин; при п = 3 время пребывания заявки в очереди Т_ож = 0,2 мин, а время пребывания заявки в системе Т_с =1,8 мин; при п = 4 время пребывания заявки в очереди Т_ож = 0,04 мин, а время пребывания заявки в системе Т_с = 1,64 мин.

Предположим, что потери от простоев сотрудника из-за возникшего инцидента составляют 0,05 долл./мин, а содержание одного специалиста в центре технической поддержки — 0,04 долл./мин. За период времени Т в систему поступает аТ инцидентов, т. е. 1,445 заявок на обслуживание в минуту.

Потери вследствие простоя сотрудников при различном числе специалистов центра технической поддержки, расходы на их заработную плату, а также суммарные затраты и потери в час приведены в табл. 4.2.

Таблица 42

Данные о расходах.