Тестовые задания. 
Математика: логика, теория множеств и комбинаторика

Каждое задание предлагаемых тестов предполагает либо выбрать все правильные ответы из списка предложенных вариантов, либо записать ответ на вопрос задачи. Задача считается решенной, если указаны в точности вес верные ответы.

Тест 1 (логика и множества)

Вариант 1

• 1. Выберите верные утверждения:
  • а) {2,3}{1,3}=0; б) 0и© = 0; в) {l, 2}u{3,4} = (c);
  • г) {1,3}п{2,3}={!, 2}; д) {l, 2}{1,2,3} = {З}.
• 2. Даны множества А = {а, б, в, г, д}, В = {а, е, С = {б, в, г, д}. Найдите множество (Ли/?)С.
• 3. Множество В содержит 9 элементов, пересечение множеств А и В содержит 2 элемента, а их объединение — 15 элементов. Сколько элементов лежит в множестве А?
• 4. Даны множества Л = {л-eR | 0 < jc < 3}, 5=Ja:€R | 0 <�л^- < 3},

C={, veR I 0^дг<3}, D={xeR | 0<�дг<3}. Какие из включений справедливы:

• а) АсВ, б) Л<=С, в) Аа?>, г) ЯсС, д) Вс?>, е) CczD ?
• 5. Заданы произвольные множества А и В. Найдите множества, которые в общем случае не равны множеству А’иВ:
  • а) (АВ)иВ; б) Агл (ВА) в) (АВ)и (ВА);
  • г) (АпВ)и (АиВ); д) (АВ)иА.
• 6. Какие из множеств Р = (А rB) v (AcC), Q = (A иВ) п (АиС), S = (А В) п>(В С) являются пустыми при любых А, В и С:

^а) Л б) (9, в) 5, г) ни одно из множеств нс пусто.

• 7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите в последовательность указанные множества так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним:
  • а) А; б) АиВ; в) АпС; г) АпВпС.
• 8. На множестве R задано отношение: хру х-у = 0. Отношение р:
  • а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) симметрично;
  • г) антисимметрично; д) транзитивно.
• 9. Выберите формулы, которым равносильна формула А—> В:
  • а) А В; б )В^>А; в) АлВ; г) В->А; д )А->В.
• 10. Выберите верные утверждения (переменные х и у принимают действительные значения).
• а) Произведение двух действительных чисел больше 0 только тогда, когда оба множителя положительны.
• б) Для того чтобы х = |у|, необходимо, чтобы х = у.
• в) Выражение х² -2х + 2 положительно при любом значении д:.
• г) Для того чтобы сумма двух действительных чисел была отрицательна, достаточно, чтобы хотя бы одно слагаемое было отрицательным.
• 11. Дано предложение Зл;е?>Д (л:>0)л (/(л:)<0)). Выберите все функции /, для которых это утверждение истинно:
  • а) /(*) = sin *; б) f (x) = |*|; в) Дх) = *³;
  • г) /(*) = -; д) Дх) = -х.

х

• 12. Какое предложение является отрицанием предложения «если А, то не В»:
  • а) «Если А, то В» б) «Если не А, то нс В» в) «А и не В»;
  • г) «Не А и В»; д) «А и В» ?
• 13. Отрицанием высказывания «Всем студентам легко и интересно решать задачи» является:
  • а) некоторым студентам не легко или не интересно решать задачи;
  • б) всем студентам нс легко или нс интересно решать задачи;
  • в) всем студентам не легко и не интересно решать задачи;
  • г) некоторым студентам легко и интересно решать задачи.
• 14. Приведите пример, который опровергает угверждение «Все целые числа, делящиеся на 3 и на 5, являются нечетными».

Вариант 2.

• 1. Выберите верные утверждения:
  • а) {2,3}е{1,2,3}; 6){l}c{3,l}; в) Ое{1,2,3}; г) 0с{1,2,3}; д)0 €{0}.
• 2. Найдите разность множеств А — {0,—1,—2,3} и В = {0,1,2,-3}.
• 3. Множество А содержит 3 элемента, множество 8−4 элемента, множество С-2 элемента. Сколько элементов лежит в прямом произведении АхВхС
• 9
• 4. Даны множества Л = {, геЯ | 0 < д: < 3}, #={;teR | 0 <�д: < 3},

C={, veR I 0 < д: < 3}. Какие из включений справедливы:

a) AczB, б) AczC, в) BezA, r) Z?cC, д) Со4, е) CezB ?

5. Заданы произвольные множества А и В. Найдите множества, которые равны множеству АглВ

а)АВ; б) АиВ; в)(ЛиВ)Л;

• г) (AB)(АпВ)^){Вс^А).
• 6. Пусть А и В — произвольные множества. Какие утверждения следуют из того, что хеА:
  • а) дг е А о В; б) «г е А и В; в) .г е А В; г)*е#у4; д) х? А В с) х
• 7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите в последовательность указанные множества так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним:

а) Akj В kj С б) Ап В; в) А; г) Ли В.

• 8. На множестве R задано отношение: лгру х-у = 1. Отношение р:
  • а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) симметрично;
  • г) антисимметрично; д) транзитивно.
• 9. Выберите формулы, которым равносильна формула А —> В: а )А->В; б) В -> А; в )АлВ; г) AvB; д )AvB.
• 10. Выберите верные утверждения (переменные х и у принимают действительные значения).
• а) Для того чтобы (х + 2)(х — 3) = 0, необходимо, чтобы л- + 2 = 0.
• б) Для того чтобы х² = у¹, достаточно, чтобы х = у.
• в) Произведение двух действительных чисел равно 0 только тогда, когда оба множителя равны 0.
• г) Сумма двух действительных чисел всегда больше их разности.

И. Дано предложение V"yеD,(*0). Найдите функции /, для которых это утверждение истинно: a) f (x) = sin x; б) Дх) = |*|; в) Дх) = *³;

Г)/(*) = -; д) f (x) = l-x.

X

• 12. Какое предложение является отрицанием предложения «если А, то В»: а) «Если не А, то не В»; б) «Если А, то не В» в) «А и не В»:
  • г) «Не А и не В»; д) «Не А или не В» ?
• 13. Отрицанием высказывания «Некоторым студентам легко и интересно решать задачи» является:
  • а) некоторым студентам не легко или не интересно решать задачи;
  • б) всем студентам не легко или не интересно решать задачи;
  • в) всем студентам нс легко и не интересно решать задачи;
  • г) некоторым студентам легко и интересно решать задачи.
• 14. Приведите пример, который опровергает утверждение: «Каждое четное число, лежащее в промежутке 40 < х < 60, делится на 3 или на 4».

Вариант 3.

• 1. Выберите верные утверждения:
  • а) {2,3}{l.3}= {I}; б)0и0 = 0; в) {l, 2}n{3,4} = 0;
  • г) {1,3}и{2,3}={1,2}; _д) {1,2}{1,2,3} = 0.
• 2. Найдите симметрическую разность множеств, а = {0−1-23} и в = {0,1,2−3}.
• 3. Разность множеств А без В содержит 7 элементов, объединение множеств А и В содержит 12 элементов, а их пересечение — 3 элемента. Сколько элементов лежит в разности В без А?
• 4. Даны множества А = {jcgR | 0 <�д: < 3}, В = {*eR | 3 <�х < 7}, C={jteR | lD={jcgR | 0
  • а) А и В, б) А и С_у в) Л и Д г) В и С, д) В и Д е) С и D ?
• 5. Заданы произвольные множества А и В. Найдите множества, которые в общем случае не равны множеству А:
  • а) (АВ)иА; б) An (AvB); в) (АВ)и (ВА);
  • г) Аи (АпВ); д) Ли (ВА).
• 6. Пусть А и В — произвольные множества. Какие из включений справедливы:

а) А^АслВ'у б) А ^АиВ; в) АпВ^ А;

y)AkjB<^A д) А^АВ; е) АВ^Л‘?

• 7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите в последовательность указанные множества так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним:
  • а) А; б) А (лВ в) АиВ; г) АпВг^С.
• 8. На множестве R задано отношение: хру ох=у + 1. Отношение р:
  • а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) симметрично;
  • г) антисимметрично; д) транзитивно.
• 9. Выберите формулы, которым равносильна формула А—>В:

а) А В; б) В —^ А; в) A v В; г) Av В ; д) А ^ В .

• 10. Выберите верные утверждения (переменные хну принимают действительные значения).
• а) Для того чтобы сумма двух действительных чисел была равна 0, необходимо и достаточно, чтобы эти числа были равны 0.
• б) Для того чтобы |дс| =[у|, достаточно, чтобы х = у.
• в) Выражения х² -2х + и х² +2*-1 не равны ни при каком значении .v.
• г) Для того чтобы х < 5, необходимо, чтобы х < 7.
• 11. Дано предложение 3*е?Д*>()л/(л;)>0). Найдите функции / для которых это утверждение истинно:
  • а) Дх) = sin JC; б) Д*) = |л|; в) Дх) = -х²; г) /С*) = 1−2*; д) Дх) = —х.
• 12. Какое предложение является отрицанием предложения «Если нс А, то нс

В»:

• а) «Если не А, то В»; б) «Если А, то не В»; в) «А и не В»; г) «Не А и В»; д) «А и В» ?
• 13. Отрицанием высказывания «Некоторым студентам легко или интересно решать задачи» является:
  • а) некоторым студентам не легко или не интересно решать задачи;
  • б) всем студентам нс легко или нс интересно решать задачи;
  • в) всем студентам не легко и не интересно решать задачи;
  • г) некоторым студентам легко и интересно решать задачи.
• 14. Приведите пример, который опровергает утверждение «Все целые числа, делящиеся на 3 и на 5, являются нечетными».

Вариант 4.

• 1. Выберите верные утверждения:
  • а) {2,3}с{1,2,3}; б) {1}с{3,1}; в) 0с{1,2,3); г) {1}е{3,1}; д) {1,2}с{1,3,4}.
• 2. Даны множества А = {б, в, г, д}, В = {а,б, в}, С = {а, е}. Найдите множество Аи (ВС).
• 3. Разность множеств А без В содержит 7 элементов, объединение множеств А и В содержит 12 элементов, а их пересечение — 3 элемента. Сколько элементов лежит в разности В без А?
• 4. Даны неравенства от переменной х: 1 < jt < 7. Расположите эти неравенства в последовательность так, чтобы каждое неравенство было следствием предыдущего (то есть запишите неравенства в цепочку А]=>А2=>Аз=>А₄).
• 5. Заданы произвольные множества А и В. Найдите множества, которые равны множеству А:
  • а) (АВ)иА; б) Ап (АиВ); в) (АВ)и (ВА);
  • г) А и (Ап В); д) Аи (ВА).
• 6. Пусть А и В — произвольные множества, а С есть пересечение А и В. Какие из следующих множеств наверняка пустые:
  • а) (АпС)(ВпО; б) (^иС)(5иС);
  • в) (СА)и (СВ); г) (ЛиС)(#пС) ?
• 7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите в последовательность указанные множества так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним:
  • а) А; б) АпС; в) АиВ; г) АиВиС.
• 8. На множестве R задано отношение: хру д:>у+ 1. Отношение р:
  • а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) симметрично;
  • г) антисимметрично; д) транзитивно.
• 9. Выберите формулы, которым равносильна формула А —> В:
  • а) В —> А 6) В —> А ; в) Ал В; г) Av В: д) A v В.
• 10. Выберите верные утверждения (переменные х и у принимают действительные значения).
• а) Произведение двух действительных чисел равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0.
• б) Для того чтобы |*| = |у|, необходимо, чтобы х = у.
• в) Выражения х²-2х + 1 и лг²+2* + 1 не равны ни при каком положительном значении *.
• г) Для того чтобы х < 5, достаточно, чтобы х<1.
• 11. Дано предложение V*eZX (*>0—>/(*)>0). Найдите функции /, для которых это утверждение истинно:
  • а) /(*) = sin *; б) /(*) = |*j; в) /(*) = *;
  • г) /(*)=-; Д) f (x)=-x. х
• 12. Какое предложение является отрицанием предложения «если не А, то В»: а) «Если нс А, то нс В»; б) «Если Л, то нс В»; в) «А и нс В»;
• г) «Не А и не В»; д) «А или не В» ?
• 13. Отрицанием высказывания «Некоторые студенты группы получили пятерку» за контрольную работу" является:
  • а) некоторые студенты группы не получили пятерку;
  • б) ни один студент группы не получили пятерку;
  • в) все студенты группы получили пятерку;
  • г) некоторые студенты группы получили пятерку, а некоторые — другую оценку.
• 14. Приведите пример, который опровергает утверждение «Каждое четное число, лежащее в промежутке 40 <* < 60, делится на 3 или на 4».

Тест 2 (комбинаторика) Вариант 1.

1. Комбинация, содержащая 5 необязательно различных элементов без учета порядка записи, составленная из 8-элементного множества, является: размещением из 8 по 5 элементов, перестановкой из 8 элементов, сочетанием из 8 по 5 элементов, 5-элементным подмножеством.

• 2. Выберите верное равенство:
• 4*.1Я=С?,; С* 15≠ А?₅-6 ≠С*;
• 3. Сколько существует подмножеств 5-элементного множества?
• 1
• 5. Сколькими способами из 6 ручек с синими чернилами и 4 ручек с красными чернилами можно составить набор, содержащий 2 ручки с синими чернилами и 2 ручки с красными чернилами?
• 6. Разрешается переставлять между собой цифры числа 12 345 таким образом, чтобы крайняя правая цифра была отлична от 1 и 2. Сколько таких чисел можно составить?
• 7. Сколькими способами можно составить трехбуквенную комбинацию из букв К, Л, Н, А, О, если буквы могут повторяться, но на первом месте должна стоять согласная буква?
• 8. Сколько существует перестановок последовательности цифр 20 122 013?
• 9. Сколько существует двузначных чисел (первая цифра нс 0), в десятичной записи которых содержится хотя бы одна из цифр 5 или 7?
• 10. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых все цифры различны и нет цифр 0 и 1?
• 11. Чему равен коэффициент при одночлене х^лу^ъ в разложении (rty)⁷?

Вариант 2.

1. Комбинация, содержащая 5 необязательно различных элементов, записанных в указанном порядке, взятых из 8-элементного множества, является:

размещением из 8 по 5 элементов, перестановкой из 8 элементов, сочетанием из 8 по 5 элементов, 5-элементным подмножеством.

2. Выберите верное равенство:

j¹⁵ .К1_С⁵. С¹⁵ • 1 Si— 4¹⁵;

^20 ^20″ '"•'20 ^20'.

4о-2"=СЙ;

Сй • 20≠ А

• 15
• 207. Сколькими способами можно составить трехбуквенную комбинацию из букв А, Б, В, Г, Д, Е, если буквы могут повторяться, но на первом месте должна стоять согласная буква, а на последнем — гласная?
• 8. Найдите число перестановок букв слова КОЛОКОЛ.
• 9. Сколько существует двузначных чисел (первая цифра нс 0), в десятичной записи которых содержится хотя бы одна из цифр 6 или 9?
• 10. Сколько существует пятизначных чисел, в десятичной записи которых все цифры различны и нет цифр 0, 1 и 2?
• 11. Чему равен коэффициент при одночлене х⁶у в разложении (х+у) ?

Вариант 3.

• 1. Комбинация, содержащая 5 различных элементов, записанных в указанном порядке, взятых из 8-элементного множества, есть размещение из 8 по 5 элементов, перестановка из 8 элементов, сочетание из 8 по 5 элементов, 5-элементное подмножество.
• 2. Выберите верное равенство:

At = АГ^к

Ct = СГ*.

At = АГ*

ct =сг*.

• 3. Сколько существует подмножеств 6-элементного множества?
• 4. На окружности отметили 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
• 5. Сколькими способами из 5 открыток и 5 книг можно составить подарок, содержащий одну открытку и 3 книги?
• 6. На собрании должны выступить пять человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что, А может выступать только вторым или третьим, а Б нс может выступать последним?
• 7. Сколькими способами можно составить четырехбуквенную комбинацию из букв А, К, Л, М, О, если буквы могут повторяться, но на первых двух позициях должна стоять согласная буква, а на двух последних — гласная?
• 8. Сколько существует перестановок букв слова ОГОРОД, которые начинаются на согласную букву?
• 9. Сколько существует трехзначных чисел, в десятичной записи которых нет цифр 0, 1, 2 и 3?
• 10. Ученик выполняет тест, состоящий из 10 вопросов, каждый из которых имеет два варианта ответов — «верно» или «неверно». Сколько может получиться разных вариантов ответа на весь тест?
• 11. Чему равен коэффициент при одночлене в разложении (х+у)⁶?