Основная система для плоской задачи теории упругости

Будем рассматривать плоскую задачу, когда на тонкую пластину действуют силы, лежащие в ее плоскости (рис. 14.2). В этом случае деформациями и напряжениями в направлении, перпендикулярном плоскости пластины, можно пренебречь.

Разрезав пластину на малые конечные элементы, соединяют их жесткими связями и изучают поведение каждого конечного элемента в отдельности. В зависимости от способа наложения связей и определенных допущений (например, о законах распределения деформации по граням элементов) получим те или иные расчетные формулы для реакций в связях. Система, состоящая из конечных элементов, носит название основной системы. За лишние неизвестные принимаются перемещения связей, которые обозначаются буквой Z.

На рис. 14.3, а показано шарнирное соединение в узлах прямоугольных конечных элементов. На каждый шарнир наложено по две линейные связи. Если мысленно разрезать пластину так, что число шарниров в каждом горизонтальном шве будет равно п, а в каждом вертикальном шве ш, то общее число шарниров в узлах будет тп_у а число линейных связей 2тп. Таким образом, число неизвестных и число уравнений будет 2/?г/7. Для определения неизвестных Z составляют канонические уравнения. Коэффициенты этих уравнений.

Рис. 143.

равны реакциям в связях при соответствующих смещениях, равных единице. В качестве примера на рис. 14.3, б показано смещение горизонтальной связи в узле k на Z = 1. Каждый из прямоугольных элементов, примыкающих к узлу /г, будет деформироваться, например превратится в трапецию. В связи, которой дано смещение на единицу, возникнет реакция ць В углах четырех указанных прямоугольных элементов возникнут также реакции в связях. Всего реакций будет 2тп =18 (в каждом узле по две реакции).